东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：参数方程A.docx

参数方程(教案)A 一、 学问梳理：(阅读教材:选修4-4第21页至39页)1、曲线的参数方程的概念:一般地,在平面直角坐标系中,假如曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数,并且对于的每一个允许值,由方程组所确定的点都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程.2.参数方程和一般方程的互化(1)曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数得到一般方程.(2)假如知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入一般方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与一般方程的互化中,必需使的取值范围保持全都.注：一般方程化为参数方程，参数方程的形式不愿定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，假如选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数方程设圆O（O为坐标原点）的半径为，点M从初始位置动身，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度。圆心为，半径为的圆的一般方程是，它的参数方程为：。4椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为0，2）。注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。5双曲线的参数方程（不要求把握）以坐标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准方程为其参数方程为，其中焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为7直线的参数方程经过点，倾斜角为的直线的一般方程是而过，倾斜角为的直线的参数方程为。注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点，倾斜角为的直线的参数方程为，其中表示直线上以定点M0为起点，任一点M(x,y)为终点的有向线段M0M的数量，当点在M上方时，0；当点M在M0下方时，0；当点与重合时，=0。我们也可以把参数理解为以为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。二、题型探究探究一：把参数方程化为一般方程例1：已知曲线C1：x=-4+costy=3+sint (t为参数)， C2：x=8cosy=3sin (为参数)（1）化C1，C2的方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x=3+2ty=-2+t (t为参数)的距离的最小值。解答：（）C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2 :x264+y29=1C1为圆心是（-4，3），半径是1的圆。C2为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。 （）当t=2时，故C3为直线x-2y-7=0，M到C3的距离 从而cos=45 ,sin=35 时,d取得最小值855 探究二：椭圆参数方程的应用例2：在平面直角坐标系xoy中，点p(x,y)是椭圆x23+y2=1上的一个动点，求s=x+y的最大值解答： 因椭圆x23+y2=1的参数方程为x=3cosy=sin (为参数),故可设动点P的坐标为(3cos,sin)，其中02因此，S=x+y=3cos+ sin =2sin(+3)所以，当=6时，S取最大值2探究三：直线参数方程的应用例3：过点作倾斜角为的直线与曲线x2+2y2=1交于点M,N，求|PM|PN|的最小值及相应的的值。解析：设直线为，代入曲线并整理得 ，则所以当时，即=2，|PM|PN|的最小值为34，此时=2。探究四：圆的参数方程的应用例4：已知曲线C的参数方程是为参数)，且曲线C与直线=0相交于两点A、B（1）求曲线C的一般方程；（2）求弦AB的垂直平分线的方程（3）求弦AB的长解答：（1）由所以，曲线C的一般方程为(x2)2+y2=2(2）由于，所以AB的垂直平分线斜率为 又垂直平分线过圆心（2，0），所以其方程为y=（3）圆心到直线AB的距离，圆的半径为r=2所以 探究五：参数方程的综合应用例5：已知点P（x，y）是圆上动点，求 （1）的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。 解：圆即，用参数方程表示为 由于点P在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin），（1） (其中tan =1.5) 的最大值为14+2 13，最小值为14- 213 。(2) x+y= 3+cos+ 2+sin=5+ sin（+4） x+y的最大值为5+ 2 ，最小值为5 -2 。（3）d=|3+cos+2+sin-1|2 = |4+2(sin+4)|2 明显当sin（+4）= 1时，d取最大值，最小值，分别为， . 例6： 过点(2,1)的直线被圆x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程是_；截得的最短弦所在的直线方程是_；例7：若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值为 。四、反思感悟 五、课时作业一、选择题1若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ D ）A B C D2下列在曲线上的点是（B ）A B C D 3将参数方程化为一般方程为（C ）A B C D 4、方程(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D）A一个定点 B一个椭圆 C一条抛物线 D一条直线二、填空题5直线的斜率为 -54。6参数方程的一般方程为_。7已知直线与直线相交于点，又点，则_0.5_8、已知，则的最大值是6。9曲线的一个参数方程为10直线被圆截得的弦长为_14_三、解答题11.（2022年高考23）.（本小题满分10分）选修44；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是=2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A、B、C、D以逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，).()求点A、B、C、D 的直角坐标；()设P为C1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。(23) 解：()依题意，点，的极坐标分别为、.所以点，的直角坐标分别为、；() 设，则 .所以的取值范围为.