东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：参数方程A.docx

参数方程(教案)A
一、 学问梳理：(阅读教材:选修4-4第21页至39页)
1、曲线的参数方程的概念:
一般地,在平面直角坐标系中,假如曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①,并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程.
2.参数方程和一般方程的互化
(1)曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数得到一般方程.
(2)假如知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入一般方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与一般方程的互化中,必需使的取值范围保持全都.
注：一般方程化为参数方程，参数方程的形式不愿定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，假如选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数方程
设圆O（O为坐标原点）的半径为，点M从初始位置动身，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度。
圆心为，半径为的圆的一般方程是，
它的参数方程为：。
4．椭圆的参数方程
以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。
注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。
5．双曲线的参数方程（不要求把握）
以坐标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准方程为其参数方程为，其中
焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为
以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。
6．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为
7．直线的参数方程
经过点，倾斜角为的直线的一般方程是而过，倾斜角为的直线的参数方程为。
注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点，倾斜角为的直线的参数方程为，其中表示直线上以定点M0为起点，任一点M(x,y)为终点的有向线段M0M的数量，当点在M上方时，＞0；当点M在M0下方时，＜0；当点与重合时，=0。我们也可以把参数理解为以为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
二、题型探究
探究一：把参数方程化为一般方程
例1：已知曲线C1：x=-4+costy=3+sint (t为参数)， C2：x=8cosθy=3sinθ (θ为参数)
（1）化C1，C2的方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C1上的点P对应的参数为t=π2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x=3+2ty=-2+t (t为参数)的距离的最小值。
解答：（Ⅰ）C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2 :x264+y29=1
C1为圆心是（-4，3），半径是1的圆。
C2为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。
（Ⅱ）当t=π2时，，故
C3为直线x-2y-7=0，M到C3的距离

从而cosθ=45 ,sinθ=35 时,d取得最小值855
探究二：椭圆参数方程的应用
例2：在平面直角坐标系xoy中，点p(x,y)是椭圆x23+y2=1上的一个动点，求s=x+y的最大值
解答： 因椭圆x23+y2=1的参数方程为x=3cos∅y=sin∅ (∅为参数),
故可设动点P的坐标为(3cos∅,sin∅)，其中0≤∅<2π因此，S=x+y=3cos∅+ sin∅ =2sin(∅+π3)所以，当∅=π6时，S取最大值2
探究三：直线参数方程的应用
例3：过点作倾斜角为的直线与曲线x2+2y2=1交于点M,N，
求|PM||PN|的最小值及相应的的值。
解析：设直线为，代入曲线并整理得
，则
所以当时，即α=π2，|PM|∙|PN|的最小值为34，此时α=π2。
探究四：圆的参数方程的应用
例4：已知曲线C的参数方程是为参数)，且曲线C与直线=0相交于两点A、B
（1）求曲线C的一般方程；
（2）求弦AB的垂直平分线的方程（3）求弦AB的长
解答：（1）由
所以，曲线C的一般方程为(x－2)2+y2=2
(2）由于，所以AB的垂直平分线斜率为
又垂直平分线过圆心（2，0），所以其方程为y=
（3）圆心到直线AB的距离，圆的半径为r=2
所以
探究五：参数方程的综合应用
例5：已知点P（x，y）是圆上动点，
求 （1）的最值，
（2）x+y的最值，
（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
解：圆即，用参数方程表示为
由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ），
（1）
(其中tan =1.5) ∴的最大值为14+2 13，最小值为14- 213 。
(2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+ sin（θ+π4）∴ x+y的最大值为5+ 2 ，最小值为5 -2 。
（3）d=|3+cosθ+2+sinθ-1|2 = |4+2(sinθ+π4)|2 明显当sin（θ+π4）= 1时，d取最大值，最小值，分别为， .
例6： 过点(2,1)的直线被圆x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程是_________；截得的最短弦所在的直线方程是__________；
例7：若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值为 　　　　　　。

四、反思感悟

五、课时作业
一、选择题
1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ D ）
A． B． C． D．
2．下列在曲线上的点是（B ）
A． B． C． D．
3．将参数方程化为一般方程为（C ）
A． B．
C． D．
4、方程(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D）
A．一个定点 B．一个椭圆 C．一条抛物线 D．一条直线
二、填空题
5．直线的斜率为 -54。
6．参数方程的一般方程为__________________。
7．已知直线与直线相交于点，又点，则__0.5__
8、已知，则的最大值是6。
9．曲线的一个参数方程为
10．直线被圆截得的弦长为_14__
三、解答题
11.（2022年高考23）.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A、B、C、D以逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，).
(Ⅰ)求点A、B、C、D 的直角坐标；
(Ⅱ)设P为C1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。
(23) 解：(Ⅰ)依题意，点，，，的极坐标分别为、、、.
所以点，，，的直角坐标分别为、、、；
(Ⅱ) 设，则

.
所以的取值范围为.