东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：圆的方程B.docx

圆的方程(学案)B一、学问梳理1.圆的方程（1）圆的标准方程圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程为（xa）2+（yb）2=r2.说明：方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆.（2）圆的一般方程二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.（*）将（*）式配方得（x+）2+（y+）2=.当D2+E24F0时，方程（*）表示圆心（，），半径r=的圆，把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E24F0）叫做圆的一般方程.说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：（Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0）a.x2、y2项系数相等且不为零.b.没有xy项.（2）当D2+E24F=0时，方程（*）表示点（，），当D2+E24F0时，方程（*）不表示任何图形.（3）据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程.（3）圆的参数方程（4-4选讲内容）圆心在O（0，0），半径为r的圆的参数方程为（为参数）. x=rcos，y=rsin 圆心在O1（a，b），半径为r的圆的参数方程为（为参数）. x=a+rcos，y=b+rsin说明：在中消去得x2+y2=r2，在中消去得（xa）2+（yb）2=r2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做一般方程.2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件若上述二元二次方程表示圆，则有A=C0，B=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分.在A=C0，B=0时，二元二次方程化为x2+y2+x+y+=0，仅当（）2+（）240，即D2+E24AF0时表示圆.故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：A=C0，B=0，D2+E24AF0.二、题型探究题型探究一圆的标准方程1.方程x2+y22（t+3）x+2（14t2）y+16t4+9=0（tR）表示圆方程，则t的取值范围是A.1t B.1t C.t1 D.1t0），下列结论错误的是A.当a2+b2=r2时，圆必过原点 B.当a=r时，圆与y轴相切C.当b=r时，圆与x轴相切 D.当b0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a0），求P点的轨迹.【例2】 一圆与y轴相切，圆心在直线x3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.【例3】 已知O的半径为3，直线l与O相切，一动圆与l相切，并与O相交的公共弦恰为O的直径，求动圆圆心的轨迹方程.三、方法提升：1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.2.求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）依据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；（3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质挂念解题.四、反思感悟1.在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有x、y项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.2.假如问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程.假如给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.3.在一般方程中，当D2+E24F=0时，方程表示一个点（，），当D2+E24F0时，无轨迹.4.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简洁化.5.数形结合、分类争辩、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用，应娴熟把握.五、课时作业：1.方程x2y2DxEyF0（D2E24F0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则A.D+E=0B. B.D+F=0C.E+F=0 D. D+E+F=02.在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有A.1条 B.2条 C.3条 D.4条3.圆x2+y2+x6y+3=0上两点P、Q关于直线kxy+4=0对称，则k=_.4.设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x4y10=0的 距离的最小值为_.5.设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足=0.（1）求m的值；（2）求直线PQ的方程.6.已知实数x、y满足x2+y2+2x2y=0，求x+y的最小值.培育力气7.已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.8.（文）求过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的标准方程.并推断点M1（2，3），M2（2，4）与圆的位置关系.（理）已知动圆M：x2+y22mx2ny+m21=0与圆N：x2+y2+2x+2y2=0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周.（1）求动圆M的圆心的轨迹方程；（2）求半径最小时圆M的方程.探究创新9.（2021年黄冈市调研考试题）如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy=60，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若=xe1+ye2（其中e1、e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量），则P点斜坐标为（x，y）.（1）若P点斜坐标为（2，2），求P到O的距离|PO|；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.拓展题例10、 圆x2+y2=1内有确定点A（，0），圆上有两点P、Q，若PAQ=90，求过点P和Q的两条切线的交点M的轨迹方程.11、 如图，过原点的动直线交圆x2+（y1）2=1于点Q，在直线OQ上取点P，使P到直线y=2的距离等于|PQ|，求动直线绕原点转一周时P点的轨迹方程.