东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：直线与圆锥曲线位置关系A.docx

直线与圆锥曲线的位置关系(教案)A
一、 学问梳理：
1. 直线与圆锥曲线位置关系问题转化为争辩方程组的实数解的问题或利用数形结合方法解决.
几何角度: 直线与圆锥曲线位置关系,从几何角度可分为三类:无公共点,.仅有一个公共点及有两个相异公共点.
代数角度: 直线与圆锥曲线位置关系的争辩方法可通过代数方法即解方程组方法来争辩,设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线C的方程为F(x,y)=0,联立方程组Ax+By+C=0F(x,y)=0,消去y (或消去x)得到一个关于变量x的一元二次方程:ax2 +bx+x=0
(1) 当a≠0时,则有下表中 的结论(方程的判别式∆=b2-4ac)
方程的判别式
方程组的实数解的个数
交点的个数
位置关系
∆<0
0
0
相离
∆=0
2
1
相切
∆>0
2
2
相交
(2)当a=0时,得到一个一元一次方程,则直线l与圆锥曲线相交,且只有一个交点,此时若C为双曲线,则直线与双曲线的渐近线平行,若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴平行或重合,因此直线与抛物线,直线与双曲线有一个公共点是直线与抛物线,双曲线相切的必要条件,但不是充分条件.
2. 常用方法及公式
(1).把争辩直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为争辩方程组的实数解的问题;
(2).当根不易求解时一般用韦达定理建立参数与根的关系,同时要留意用判别式检验根存在性;
(3).能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得弦长的有关问题.弦长公式:设A(x1,y1),B(,y2),则|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =1+k2|x1-x2|(方程是x的方程); |AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =1+1k2|y1-y2|(方程是y的方程),当直线斜率不存在时,可求出交点坐标,直线计算弦长,另外,过焦点的弦长还可依据定义求解.
(4).处理弦的中点问题时,用点差法较为便利,能直接体现弦的斜率和中点的坐标之间的关系,但不易验证根的存在.

二、题型探究
探究一：直线与圆锥曲线的交点个数问题
例1:直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的右支有两个不同的公共点,求实数k的取值范围.

探究二:弦长问题
例2: 已知直线y=kx+b与椭圆x2+4y2=4交于A,B两点,记∆AOB的面积为S,
(1) 在k=0,0<b<1的条件下,求S的最大值.

(2).当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.

探究三:有关弦的中点问题
例3:已知椭圆x2+2y2=2的左焦点为F,O为坐标原点.设过F的直线交椭圆于A,B两点,且线段AB的中点在直线x+y=0上,求直线AB方程及|AB|.

三、 方法提升：
1、直线与圆锥曲线的公共点问题，实际上是争辩由它们的方程组成的方程组的实数解的问题，此时要留意分类争辩与数形结合的思想方法；
2、关于直线与圆锥曲线的相交弦问题则结合韦达定理接受设而不求的方法；
3、合理引入参数表示点的坐标，削减变量。
四、反思感悟

五、课时作业
一、选择题（每小题6分，共42分）
1.假如椭圆=1的弦被点（4,2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A.x-2y=0 B.x+2y-4=0 C.2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0
答案：D
解析：由点在直线上排解B、C，若为A，则直线与椭圆相交的弦不被点（4，2）平分，故选D.
2.方程y=ax+b和a2x2+y2=b2(a>b>1)在同一坐标系中的图形可能是（ ）

答案：C
解析：∵a>0,b>0,∴直线y=ax+b过一、三象限且在y轴上的截距为正，排解B、D，又直线过点（0,b），（-,0）,∴b>|-|.
3.设A为双曲线=1的右支上一动点，F为该双曲线的右焦点，连AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点（ ）
A.（，0） B.（，0） C.（4，0） D.（，0）
答案：A
解析：（特殊法）设A（5,）,则B（5,-）,C(,-).故kAC=，直线AC为y-=(x-5),即：10x-4y-41=0，与x轴交点为（，0），排解B、C、D，选A.
4.对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02<4x0的点M（x0,y0）在抛物线的内部，若点M（x0,y0）在抛物线的内部，则直线l:y0y=2(x+x0)与C（ ）
A.恰有一个公共点 B.恰有两个公共点
C.没有公共点 D.可能有一个公共点也可能有两个公共点
答案：C
解析：联立方程组消去x,得y2-2y0y+4x0=0,
Δ=4y02-16x0=4(y02-4x0),∵M（x0,y0）在抛物线内，∴y02<4x0.∴Δ<0,∴无公共点.
5.抛物线y2=2px与直线ax+y-4=0交于两点A、B，其中点A的坐标是（1，2）.若抛物线的焦点为F，则|FA|+|FB|等于( )
A.5 B.6 C.3 D.7
答案：D
解析：由点A在抛物线和直线上知p=2,a=2,故抛物线为y2=4x,直线为2x+y-4=0,可联立解得B(4,-4),F(1,0),故|AF|+|BF|=2+5=7.
6.过点M（-2，0）的直线m与椭圆+y2=1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为( )
A.2 B.-2 C. D.-
答案：D
解析：将y=k1(x+2)代入x2+2y2=2中有：（1+2k12）x2+8k12x+8k12-2=0.
故P（-）.∴k2=-,k1·k2=-.
7.过抛物线y2=ax(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、n，则等于( )
A.2a B.4a C. D.
答案：D
解析：(特殊法)令AB⊥x轴，则xa=xb=,∴m=n=|ya|=.
二、填空题（每小题5分，共15分）
8.设P1、P2是抛物线x2=y的一条弦，假如P1P2的垂直平分线的方程为y=-x+3，那么弦P1P2所在的直线方程是____________________.

答案：y=x+2
解析：设P1（x1,y1），P2(x2,y2),明显=1,则P1P2所在直线方程为y=x+b,
由有x2-x-b=0,于是x1+x2=1,则P1P2的中点是P（）,
P1P2所在直线方程又可为y-=x-. ①又点P在直线y=-x+3上,即+3. ②当②代入①得y=x-(x1+x2)+3=x+2.
9.直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆=1总有公共点，则m的取值范围是_________.
答案：［1，5）
解析：由焦点在x轴上，故0<m<5,又数形结合知m≥1，故1≤m<5.
10.假照实数b不论取何值，直线y=kx+b与双曲线x2-2y2=1总有公共点,那么k的取值范围是_____________.
答案：-<k<
解析：将y=kx+b代入x2-2y2=1,得（1-2k2）x2-4kbx-2b2-1=0.(*)
当1-2k2=0即k=±时，4kbx+2b2+1=0不能使任意b∈R都有解.
∴1-2k2≠0.
∵方程（*）对b∈R恒有解，∴Δ≥0，即16k2b2+4(1-2k2)(2b2-1)≥0恒成立，即8k2≤8b2+4恒成立，∴8k2≤4,∴k2≤.
又k2≠，∴k2<,∴-<k<.实际上，画个图，可推出答案.
三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）
11.已知椭圆C:=1(a>b>0),直线l1:=1被椭圆C截得的弦长为2，过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截得的弦长是椭圆长轴长的，求椭圆C的方程.
解析：由l1被C截得的弦长为2,得a2+b2=8, ①设l2：y=(x-c)，代入C的方程化简得（b2+3a2）x2-6a2cx+a2(3c2-b2)=0,
∴x1+x2=,x1x2=.
∴|x1-x2|=,由弦长公式得,
即a2=3b2, ②联立①②得a2=6,b2=2.故C的方程为=1.
12.已知双曲线C:=1（a>0,b>0）,B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴的正半轴，且满足||、||、||成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.
（1）求证：·=·；
（2）若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围.
解析：（1）l:y=-(x-c),∴P().
由||、||、||成等比数列得A（,0）,
∴=(0,-), =(,), =(-,).
∴·=·.（2）
∴b2x2-(x-c)2=a2b2.即(b2-)x2+2cx-(+a2b2)=0,∴Δ>0恒成立.
∴x1·x2=<0.∴b4>a4,即b2>a2.∴c2-a2>a2e>.
13.已知点P（2,1）在双曲线=1，且它和双曲线一个焦点F的距离是1，
（1）求双曲线的方程；
（2）过点F的直线l，交双曲线于A、B两点，若弦长|AB|不超过4，求l的倾斜角范围.
解析：（1）设焦点F（c,0），由题意得
（-c）2+1=1,∴c=,则点F的坐标为（,0），∴a2+b2=2. ①又∵P（,1）在双曲线上，∴=1. ②由①②得a2=1或a2=4（舍去），∴b2=1.从而双曲线方程为x2-y2=1.
(2)①当直线l斜率存在时，设l:y=k(x-)代入双曲线方程得：
（1-k2）x2+2k2x-2k2-1=0.|AB|2=(1+k2)［(x1+x2)2-4x1x2］=≤42.
即-2≤≤2,解得k2≤或k2≥3.∴-≤k≤或k≤-或k≥.
∴0≤α≤或≤α<,<α≤或≤α<π.
②当直线l的斜率不存在时,简洁验证也满足题意.此时倾斜角为.
∴l的倾斜角的范围是［0,］∪［,］∪［,π］.
14.(2010江苏南京一模，22)已知直线x+2y+m=0(m∈R)与抛物线C：y2=x相交于不同的两点A，B，
（1）求实数m的取值范围；
（2）在抛物线C上是否存在一个定点P，对（1）中任意的m的值，都有直线PA与PB的斜率互为相反数？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.
解析：（1）∵抛物线与直线有两个不同的交点，
∵有两个不同的解，即方程y2+2y+m=0有两个不同的解，
∴Δ=4-4m>0,即m<1.
(2)设A（y12,y1）,(y22,y2),P(y02,y0),
由kAB=,得y1+y2=-2,kPA=,
kPB=，假设在抛物线上存在定点P使得直线PA与PB的斜率互为相反数，即：,即：2y0=-(y1+y2)=2,得y0=1.
∴存在定点P（1，1）使得直线PA与PB的斜率互为相反数.