2021高中数学北师大版选修1-1学案：《全称量词与存在量词》.docx

第4课时全称量词与存在量词1.理解全称量词、存在量词,能够用符号表示全称命题、特称命题,并会推断其真假.2.对含有量词的命题进行否定,应首先推断此命题是全称命题还是特称命题,也就是要找出语句中的全称量词或存在量词.3.明确全称命题、特称命题、含有一个量词的命题的否定形式的真假的推断方法,通过生活和数学中的丰富实例,了解数学学问的全面性和对称性.美国作家马克吐温除了以宏大的作家而有名,更以他的直言不讳出名.一次,马克吐温在记者面前说:“有些国会议员是傻瓜!”记者把他说的话,只字未改地登在报纸上.这令国会议员们生气不已,威逼马克吐温收回那些话,否则要给他好看.这股威逼的力气太强,马克吐温也不得不让步.几天之后,报纸刊登了马克吐温的赔礼文:“本人在几天前曾说:有些国会议员是傻瓜!此言经报道后,受到国会议员的猛烈抗议.本人经过认真思考,发觉本人的言论的确有误.于是,本人今日在此声明,修正日前所说的话为:有些国会议员不是傻瓜!”问题1: 命题中加入了不同的量词,所表达的意思完全不同,前面马克吐温所说的这句话“有些国会议员是傻瓜”与“全部国会议员是傻瓜”表达的内容不尽相同,而马克吐温赔礼说的 “有些国会议员不是傻瓜” 并不是对“有些国会议员是傻瓜”的否定,那么“有些国会议员是傻瓜”的否定是 “”;“有些国会议员不是傻瓜” 的否定是 “”.问题2: 全称量词与存在量词(1)短语“对全部的”“对任意一个”在规律中通常叫作全称量词.常见的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”等.含有全称量词的命题叫作全称命题.通常将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)表示,变量x的取值范围用M表示.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,记为.(2)短语“存在一个”“至少有一个”在规律中通常叫作存在量词.常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.含有存在量词的命题叫作特称命题.通常将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)表示,变量x的取值范围用M表示.特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”,记为. 问题3:(1)如何对含有一个量词的全称命题进行否定?(2)如何对含有一个量词的特称命题进行否定?(1)全称命题p:对任意的xM,p(x)成立的否定是.(2)特称命题p:存在xM,使p(x)成立的否定是.问题4:全称命题的否定是命题;特称命题的否定是命题.全称命题、特称命题的否定是否定,而否命题是既否定又否定.1.下列命题中,不是全称命题的是().A.任何一个实数乘以0都等于0B.自然数都是正整数C.每一个向量都有大小D.肯定存在没有最大值的二次函数2.以下四个命题中既是特称命题又是真命题的是().A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x,使x20C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,使1x23.命题“全部实数的平方都是正数”的否定为. 4.推断下列命题的真假.(1)任意xR,都有x2-x+112.(2)存在,使cos(-)=cos -cos .(3)任意x,yN,都有x-yN.(4)存在x,yZ,使得2x+y=3.推断命题是全称命题还是特称命题下列命题哪些是全称命题?哪些是特称命题?(1)对任意的nZ,2n是偶数;(2)假如两个数的和为负数,那么这两个数中至少有一个是负数;(3)矩形是平行四边形;(4)存在一个实数x,使x2+x+1=0.含有一个量词的命题的否定及其真假推断写出下列命题的否定并推断其真假:(1)p:不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实数根;(2)p:有的三角形的三条边相等;(3)p:菱形的对角线相互垂直;(4)p:存在xN,x2-2x+10.全称命题与特称命题的应用是否存在整数m,使得命题“对任意xR,m2-m0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是.1.下列语句不是全称命题的是( ).A.模相等的向量是相等向量B.共线向量所在直线共线C.在平面对量中,有些向量是共线向量D.每一个向量都有大小2.命题“存在xZ,x2-2x=0”的否定是( ).A.任意xZ,x2-2x=0B.存在xZ,x2-2x0 C.任意xZ,x2-2x0D.存在xZ,x2-2x03.命题“任意xR,存在mZ,m2-mx2+x+1”是命题.(填“真”或“假”)4.写出下列命题的否定,并推断真假:(1)一切分数都是有理数;(2)有些三角形是锐角三角形;(3)对任意的xR,有2x+40成立;(4)存在xR,使x2+x=x+2成立.(2022年湖北卷)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是().A.任意一个有理数,它的平方是有理数B.任意一个无理数,它的平方不是有理数C.存在一个有理数,它的平方是有理数D.存在一个无理数,它的平方不是有理数考题变式(我来改编):第4课时全称量词与存在量词学问体系梳理问题1:全部国会议员都不是傻瓜全部国会议员都是傻瓜问题2:(1)任意xM,p(x)(2)存在xM,p(x)问题3:(1)存在xM,使p(x)不成立(2)对任意的xM,p(x)不成立问题4:特称全称结论结论条件基础学习沟通1.DD选项是特称命题.2.BA中锐角三角形的内角都是锐角,所以是假命题;B中x=0时,x2=0,所以B既是特称命题又是真命题;C中由于3+(-3)=0,所以C是假命题;D中对于任一个负数x,都有1x0,x2-x+112恒成立.(2)真命题.例如=4,=2,符合题意.(3)假命题.例如x=1,y=5,x-y=-4N.(4)真命题.例如x=0,y=3,符合题意.重点难点探究探究一:【解析】(1)(3)是全称命题,(2)(4)是特称命题.【小结】识别全称命题与特称命题,关键是找到全称量词和存在量词.探究二:【解析】(1)存在一个实数m,使方程x2+mx-1=0没有实数根.由于该方程的判别式=m2+40恒成立,假命题.(2)全部的三角形的三条边不全相等.假命题.(3)有的菱形对角线不垂直.假命题.(4)任意xN,x2-2x+10.明显当x=1时,x2-2x+10不成立,假命题.【小结】“菱形的对角线相互垂直”是省略了全称量词“全部的都”的全称命题,其否定形式为“存在xM,p(x)不成立”.全称命题及其否定真假性相反.特称命题“存在xM,p(x)”的否定为“任意xM,p(x)不成立”,特称命题及其否定真假性相反.当一个命题的否定的真假不易推断时,可以转化为推断原命题的真假.留意命题所含的量词,没有的要结合命题的含义加上量词,再进行否定,同时留意三条边相等的否定是三条边不全相等.探究三:【解析】假设存在整数m,使得命题是真命题.由于对任意xR,x2+x+1=(x+12)2+3434,因此只需m2-m34,即-12m32.故存在整数m=0或m=1,使得命题是真命题.【小结】所谓全称量词,就是在命题中用来表示完全概括的规律用语,含有全称量词的命题叫作全称命题;所谓的存在量词,就是用来表示部分概括的规律用语,含有存在量词的命题叫作特称命题.思维拓展应用应用一:(1)(3)(5)是全称命题,(2)(4)(6)是特称命题.应用二:(1)存在一个菱形,它不是正方形.由两个全等的等边三角形拼成的菱形就不是正方形,是真命题.(2)存在xR,使得x2-2x+10.x2+2x+2=(x+1)2+1,(x+1)20,对任意xR,都有x2+2x+210.是真命题.应用三:-3,0依题意ax2-2ax-30对任意实数x恒成立,当a=0时,-30成立;当a0时,由a0,=4a2+12a0,得-3a0.综上可得-3a0.基础智能检测1.C依据全称命题的定义以及所含的量词可知,A、B、D为全称命题,C为特称命题.2.C特称命题的否定是全称命题,所以命题“存在xZ,x2-2x=0”的否定是“任意xZ,x2-2x0”,选C.3.真由于任意xR,x2+x+1=(x+12)2+3434,因此只需m2-m34,即-12m32,所以当m=0或m=1时,任意xR,m2-mx2+x+1成立,因此命题是真命题.4.解:(1)存在一个分数不是有理数,假命题;(2)全部的三角形都不是锐角三角形,假命题;(3)存在xR,使2x+40成立,真命题;(4)对任意的xR,有x2+xx+2成立,假命题.全新视角拓展B特称命题的否定,不仅要留意把存在量词改为全称量词,还要将结论否定.