资源描述
阶段性测试题四(三角函数、三角恒等变形、解三角形)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2021·娄底市名校联考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )
A．－ B．－
C． D．
[答案] B
[解析] 解法1：在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)，则r2＝|OP|2＝a2＋(2a)2＝5a2，
∴cos2θ＝＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.
解法2：tanθ＝＝2，cos2θ＝＝
＝－.
2．(2021·山东滕州一中月考)化简
的结果是( )
A．－1 B．1
C．tanα D．－tanα
[答案] C
[解析] 原式＝＝tanα.
3．(文)(2022·河南省试验中学期中)函数y＝sin(2x＋)图象的对称轴方程可能是( )
A．x＝－ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
[答案] D
[解析] 由2x＋＝kπ＋(k∈Z)得，x＝＋(k∈Z)，∴选D．
(理)(2021·沈阳市东北育才学校一模)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是( )
A．y＝sin(2x＋) B．y＝sin(2x＋)
C．y＝sin(2x－) D．y＝sin(2x－)
[答案] D
[解析] 把x＝代入解析式，函数应取到最值，经检验D符合．
4．(文)(2021·河南八校联考)将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] y＝cosx＋sinx＝2sin(x＋)，向左平移m个单位得到y＝2sin(x＋m＋)，此函数为奇函数，∴m＋＝kπ，k∈Z，∵m>0，∴m的最小值为.
(理)(2022·杭州七校联考)将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝cos2x B．y＝2cos2x
C．y＝1＋sin(2x＋) D．y＝2sin2x
[答案] B
[解析] y＝sin2xy＝sin2(x＋)
y＝sin(2x＋)＋1，
∵y＝sin(2x＋)＋1＝cos2x＋1＝2cos2x，∴选B．
5．(2022·河北冀州中学期中)设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是(弧度)( )
A．1 B．4
C．π D．1或4
[答案] D
[解析] 设扇形半径为R，圆心角为α，则
由(2)得Rα＝，代入(1)得2R＋＝6，解之得R＝1或2，当R＝1时，α＝4，当R＝2时，α＝1.∴选D．
6．(2022·湖北省八校联考)已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为( )
A． B．3
C． D．
[答案] B
[解析] ∵cosα＝，α为锐角，∴sinα＝，tanα＝，
∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝3.
7．(文)(2021·江西省三县联考)在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5，则cosA的值为( )
A． B．
C．0 D．1
[答案] B
[解析] 由正弦定理得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5，
∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k(k>0)，
∴cosA＝＝＝.
(理)(2021·山西忻州四校联考)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为a，则＋的最大值是( )
A．8 B．6
C．3 D．4
[答案] D
[解析] ＋＝，这个形式很简洁联想到余弦定理：cosA＝，①
而条件中的“高”简洁联想到面积，a·a＝bcsinA，即a2＝2bcsinA，②
将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋sinA)，
∴＋＝2(cosA＋sinA)＝4sin(A＋)，当A＝时取得最大值4，故选D．
8．(文)(2022·甘肃省金昌市二中期中)在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC确定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
[答案] B
[解析] ∵2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)
＝sinAcosB＋cosAsinB，
∴sin(A－B)＝0，∵0<A、B<π，∴A－B＝0，故选B．
(理)(2022·三亚市一中月考)在△ABC中，若三个角A、B、C成等差数列，对应三条边成等比数列，则△ABC确定是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
[答案] D
[解析] ∵A、B、C成等差数列，∴B＝，A＋C＝，
又b2＝ac，∴sin2B＝sinAsinC，即sinAsinC＝，
∴sinAsin(－A)＝，∴sin(2A－)＝1，
∵0<A<π，∴2A－＝，∴A＝，
∴△ABC为等边三角形．
9．(2022·山东省德州市期中)已知△ABC中三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B＝30°，b＝1，c＝，则△ABC的面积为( )
A． B．
C．或 D．或
[答案] C
[解析] ∵sin30°＝<1<3，∴△ABC有两解．
由＝得，sinC＝，∴C＝60°或120°，
当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝；
当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝××1×sin30°＝，故选C．
10．(文)(2021·湖北百所重点中学联考)已知α为第三象限角，且sinα＋cosα＝2m，sin2α＝m2，则m的值为( )
A． B．－
C．－ D．－
[答案] B
[解析] 把sinα＋cosα＝2m两边平方可得1＋sin2α＝4m2，又sin2α＝m2，∴3m2＝1，解得m＝±，又α为第三象限角，∴m＝－.
(理)(2022·文登市期中)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－，则cosA＝( )
A．－ B．
C． D．－
[答案] A
[解析] 2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)
＝[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB＋cos(π－B)
＝cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＋cosB－cosB
＝cos(A－B＋B)＝cosA＝－，故选A．
11．(文)(2022·北京海淀期中)已知函数f(x)＝，在下列给出结论中：
①π是f(x)的一个周期；
②f(x)的图象关于直线x＝对称；
③f(x)在(－，0)上单调递减．
其中，正确结论的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] C
[解析] 由于，f(x)＝，
f(x＋π)＝＝＝－，所以，①不正确；
又f(2×－x)＝
＝，由满足f(2a－x)＝f(x)，其图象的对称轴为x＝a知，②正确；
由于，f(x)＝＝＋，y＝sinx，y＝cosx在(－，0)上均为增函数，
所以，y＝＋在(－，0)上为减函数，③正确．
综上知，正确结论的个数为2，选C．
(理)(2021·洛阳市期中)若f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋m，对任意实数t都有f(t＋)＝f(－t)，且f()＝－1则实数m的值等于( )
A．±1 B．－3或1
C．±3 D．－1或3
[答案] B
[解析] 由f(t＋)＝f(－t)得，f(＋t)＝f(－t)，∴f(x)的图象关于直线x＝对称，又f()＝－1，
∴m±2＝－1，∴m＝1或－3.
12．(2022·福州市八县联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图，则f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2021)的值分别为( )
A．f(x)＝sin2πx＋1，S＝2021
B．f(x)＝sin2πx＋1，S＝2021
C．f(x)＝sinx＋1，S＝2022
D．f(x)＝sinx＋1，S＝2022
[答案] D
[解析] 由图象知A＝0.5，T＝4＝，∴ω＝，b＝1，∴f(x)＝0.5sin(x＋φ)＋1，由f(x)的图象过点(1，1.5)得，0.5sin(＋φ)＋1＝1.5，∴cosφ＝1，∴φ＝2kπ，k∈Z，取k＝0得φ＝0，∴f(x)＝0.5sin(x)＋1，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝(0.5sin0＋1)＋(0.5sin＋1)＋(0.5sinπ＋1)＋(0.5sin＋1)＝4,2021＝4×503＋1，∴S＝4×503＋f(2022)＋f(2021)＝2022＋f(0)＋f(1)＝2022.5.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)
13．(2021·韶关市十校联考)在△ABC中，sinC＝，cosB＝－，则角cosA＝________.
[答案]
[解析] ∵cosB＝－，0<B<π，∴sinB＝，且B为钝角，∴C为锐角，∵sinC＝，∴cosC＝，
∴cosA＝cos[π－(B＋C)]＝－cos(B＋C)
＝sinBsinC－cosBcosC＝×－(－)×＝.
14．(2021·江西师大附中、临川一中联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向左至少平移________个单位后，得到的图象解析式为y＝Acosωx.
[答案]
[解析] 由函数的图象可得A＝1，T＝·＝π－＝，∴ω＝2.
再依据五点法作图可得2×＋φ＝，∴φ＝，
∴函数f(x)＝sin(2x＋)．
把函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向左平移个单位，可得y＝sin[2(x＋)＋]＝cos2x的图象．
15．(2021·湖南师大附中月考)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(其中φ为实数)，若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立，且sinφ<0，则f(x)的单调递增区间是________．
[答案] [kπ＋，kπ＋](k∈Z)
[解析] 由条件知|f()|＝|sin(＋φ)|＝1，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∴φ＝kπ＋，∵sinφ<0，∴取k＝1，φ＝，
∴f(x)＝sin(2x＋)．
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得，kπ－≤x≤kπ－.
16．(文)(2022·河南淇县一中模拟)若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间[0，]上的最大值是，则ω＝________.
[答案]
[解析] ∵0<ω<1，∴T＝>2π，∴f(x)在[0，]上为增函数，由条件知2sin(ω)＝，∴ω＝2kπ＋，或ω＝2kπ＋，k∈Z，∴ω＝6k＋或6k＋，
∵k∈Z,0<ω<1，∴k＝0，ω＝.
(理)(2022·长安一中质检)若cosxcosy＋sinxsiny＝，sin2x＋sin2y＝，则sin(x＋y)＝________.
[答案]
[解析] ∵2x＝(x＋y)＋(x－y)，2y＝(x＋y)－(x－y)，sin2x＋sin2y＝，∴sin(x＋y)cos(x－y)＝，又由cosxcosy＋sinxsiny＝得cos(x－y)＝，
∴sin(x＋y)＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分12分)(2021·韶关市十校联考)已知函数f(x)＝sin2x－2sin2x.
(1)若点P(1，－)在角α的终边上，求f(α)的值；
(2)若x∈[－，]，求f(x)的值域．
[解析] (1)由于点P(1，－)在角α的终边上，
所以sinα＝－，cosα＝，
所以f(α)＝sin2α－2sin2α＝2sinαcosα－2sin2α
＝2×(－)×－2×(－)2＝－3.
(2)f(x)＝sin2x－2sin2x＝sin2x＋cos2x－1
＝2sin(2x＋)－1，
由于x∈[－，]，所以－≤2x＋≤，
所以－≤sin(2x＋)≤1，
所以f(x)的值域是[－2,1]．
18．(本小题满分12分)(文)(2022·山东省菏泽市期中)已知函数f(x)＝－sin2x－(1－2sin2x)＋1.
(1)求f(x)的最小正周期及其单调减区间；
(2)当x∈[－，]时，求f(x)的值域．
[解析] f(x)＝－sin2x－(1－2sin2x)＋1
＝－sin2x－cos2x＋1
＝－2sin(2x＋)＋1.
(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
f(x)＝－2sin(2x＋)＋1的单调减区间即是函数y＝sin(2x＋)的单调增区间，
由正弦函数的性质知，当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，(k∈Z)
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数y＝sin(2x＋)为单调增函数，
∴函数f(x)的单调减区间为[kπ－，kπ＋]，(k∈Z)．
(2)∵x∈[－，]，∴2x＋∈[0，]，
∴sin(2x＋)∈[0,1]，
∴－2sin(2x＋)＋1∈[－1,1]，
∴f(x)的值域为[－1,1]．
(理)(2022·山东省德州市期中)将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，再纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，然后再向上平移1个单位，得到函数y＝sinx的图象．
(1)求y＝f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈[0,1]时，函数y＝g(x)的最小值和最大值．
[解析] (1)函数y＝sinx的图象向下平移1个单位得y＝sinx－1，再将各点的横坐标缩短到原来的倍得到y＝sinx－1，然后向右移1个单位得y＝sin(x－)－1.
所以函数y＝f(x)的最小正周期为T＝＝6.
由2kπ－≤x－≤2kπ＋⇒6k－≤x≤6k＋，k∈Z，
∴y＝f(x)的递增区间是[6k－，6k＋]，k∈Z.
(2)由于函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴当x∈[0,1]时，y＝g(x)的最值即为当x∈[3,4]时，y＝f(x)的最值．
∵x∈[3,4]时，x－∈[，π]，
∴sin(x－)∈[0，]，
∴f(x)∈[－1，]，
∴y＝g(x)的最小值是－1，最大值为.
19．(本小题满分12分)(文)(2021·安徽示范高中联考)已知三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,2acosA＝bcosC＋ccosB．
(1)求A；
(2)若a＝，b＝1，求c.
[解析] (1)∵2acosA＝bcosC＋ccosB，
∴由正弦定理得sin2A＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)，
∴B＋C＝2A，∴A＝60°.
(2)∵a2＝b2＋c2－2bccosA，a＝，b＝1，A＝60°，
∴3＝1＋c2－c，∴c＝2.
(理)(2021·成都市树德中学期中)在△ABC中，已知角A为锐角，且f(A)＝＋cos2A．
(1)求f(A)的最大值；
(2)若A＋B＝，f(A)＝1，BC＝2，求△ABC的三个内角与AC边的长．
[解析] (1)f(A)＝＋cos2A
＝＋cos2A＝sin2A＋cos2A
＝(sin2A＋cos2A＋1)＝sin(2A＋)＋.
∵角A为锐角，∴0<A<，<2A＋<，
∴当2A＋＝时，f(A)取值最大值，其最大值为.
(2)由f(A)＝1得sin(2A＋)＋＝1，
∴sin(2A＋)＝，
∴2A＋＝，A＝.
又∵A＋B＝，∴B＝，∴C＝.
在△ABC中，由正弦定理得：＝，
∴AC＝＝.
20．(本小题满分12分)(2021·江西三县联考)已知A、B分别在射线CM、CN(不含端点C)上运动，∠MCN＝，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.
(1)若a、b、c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；
(2)若c＝，∠ABC＝θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．
[解析] (1)∵a、b、c成等差数列，且公差为2，∴a＝c－4，b＝c－2，
又∠MCN＝，∴cosC＝－.
由余弦定理得：＝－，
∴c2－9c＋14＝0，∴c＝7或2，
∵c>4，∴c＝7.
(2)在△ABC中，＝＝，
∴＝＝＝2，
∴AC＝2sinθ，BC＝2sin(－θ)．
∴△ABC的周长L＝|AC|＋|BC|＋|AB|
＝2sinθ＋2sin(－θ)＋
＝2[sinθ＋cosθ]＋＝2sin(θ＋)＋，
又∵θ∈(0，)，∴<θ＋<.
∴当θ＋＝，即θ＝时，L取得最大值2＋.
21．(本小题满分12分)(文)(2022·长春市一调)已知向量m＝(cosx，－1)，n＝(sinx，－)，设函数f(x)＝(m＋n)·m.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)已知a、b、c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，a＝1，c＝，且f(A)恰是函数f(x)在[0，]上的最大值，求A，b和三角形ABC的面积．
[解析] (1)f(x)＝(m＋n)·m＝cos2x＋sinxcosx＋＝＋sin2x＋
＝cos2x＋sin2x＋2＝sin(2x＋)＋2，
由于ω＝2，所以最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋)＋2，当x∈[0，]时，≤2x＋≤.
由正弦函数图象可知，当2x＋＝时，f(x)取得最大值3，又A为锐角，所以2A＋＝，A＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得，1＝b2＋3－2××b×cos，所以b＝1或b＝2，
经检验均符合题意．
从而当b＝1时，△ABC的面积S＝××1×sin＝；当b＝2时，S＝××2×sin＝.
(理)(2022·浙北名校联盟联考)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，＝.
(1)求角B的大小；
(2)求函数f(x)＝cosx·cos(x＋B)(x∈[0，])的值域．
[解析] (1)∵＝，而sinC>0，
∴sinBcosC＝2sinAcosB－cosBsinC，
∴sin(B＋C)＝2sinAcosB，∵sin(B＋C)＝sinA，
∴cosB＝，∴B＝.
(2)f(x)＝cos2x－sinxcosx
＝－sin2x＝cos(2x＋)＋，
∵2x＋∈[，π]，∴－1≤cos(2x＋)≤，
∴f(x)的值域为[－，]．
22．(本小题满分14分)(文)(2021·深圳市五校联考)已知f(x)＝sin(π＋ωx)sin(－ωx)－cos2ωx(ω>0)的最小正周期为T＝π.
(1)求f()的值；
(2)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若有(2a－c)cosB＝bcosC，则求角B的大小以及f(A)的取值范围．
[解析] (1)f(x)＝sinωxcosωx－cos2ωx
＝sin2ωx－cos2ωx－＝sin(2ωx－)－.
∵y＝f(x)的最小正周期T＝π，∴＝π，∴ω＝1，
∴f(x)＝sin(2x－)－，
∴f()＝sin(2×－)－＝sin－＝－1.
(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，
∴由正弦定理可得：(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，
∴2sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C)
＝sin(π－A)＝sinA，
∵sinA>0，∴cosB＝，∵B∈(0，π)，∴B＝.
∵A＋C＝π－B＝π，∴A∈(0，)，
∴2A－∈(－，)，∴sin(2A－)∈(－，1]，
∴f(A)＝sin(2A－)－∈(－1，]．
(理)(2021·濉溪县月考)已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,2cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(λ∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数且ω∈(，1)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点(，0)，求函数y＝f(x)在区间[0，]上的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)＝a·b＋λ
＝(cosωx－sinωx)·(－cosωx－sinωx)＋sinωx·2cosωx＋λ＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ
＝sin(2ωx)－cos(2ωx)＋λ＝2sin(2ωx－)＋λ.
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－)＝±1，
∴2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)，
又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，ω＝.
∴f(x)＝2sin(x－)＋λ，
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)∵函数y＝f(x)的图象过点(，0)，
∴f()＝2sin(×－)＋λ＝0，故λ＝－2sin＝－.
故f(x)＝2sin(x－)－，
∵0≤x≤，∴－≤x－≤，
∴－≤sin(x－)≤1，
∴－1－≤2sin(x－)－≤2－，
故函数f(x)在[0，]上的取值范围为[－1－，2－]．
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