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第8课时 空间几何中的角度计算与距离计算
1.利用直线与平面的平行和垂直的判定定理、性质定理进行一些空间几何中的线面角和二面角的计算.
2.空间几何中有关的点面距离、空间几何体的高和体积的计算.
重点:(1)简洁的线面角和二面角的计算;(2)会求一些空间几何体的高及空间几何体的体积.
难点:二面角的计算.
前面我们了解了直线与平面所成的角、二面角的概念,那么在实际应用中我们如何计算它们的角度呢?又有哪些方法技巧呢?我们在了解距离概念后,能否求出几何体的高,进一步求出空间几何体的体积呢?今日我们将初步揭开它们的面纱,探寻解这类问题的方法规律呢?
问题1:空间几何体的角度和距离
(1)空间几何中有关角度的类型有:
①线线角:主要指两条异面直线所成角.
② 线面角 :直线与平面所成角.
③ 二面角 :从一条直线动身的两个半平面所成的图形.
(2)空间几何中有关距离的类型有:
点到直线的距离 、 点到平面的距离 、 两平行线间的距离 、两异面直线间的距离(不要求把握)、直线与平面平行时的线面距离、 两平行平面之间的距离 .这些距离问题往往都会转化成点面、点线之间的距离来作解.
问题2:求直线与平面所成角的基本思想和方法
求直线和平面所成的角,几何法一般先定斜足,再作垂线找射影,然后通过 解直角三角形 求解,可以简述为“作(作出线面角)→证(证所作为所求)→求(解直角三角形)”.通常,通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.
问题3:求二面角的基本思想和方法
求二面角时,关键是作出二面角的平面角,其常用作法有三种:
(1)定义法:在二面角的棱上找一点(为了便于解决问题,可结合图形找某特殊的点),在两个半平面内过该点分别作与棱 垂直 的射线.
(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂面,该平面与二面角的两个半平面形成交线(实质是射线),这 两条交线 所成的角是二面角的平面角.
(3)垂线法:如图,由一个半平面内不在棱上的点A向另一个半平面作垂线AB,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线BO,垂足为O,连接AO,易证 ∠AOB 即为二面角的平面角.
问题4:求空间中的点面距离的基本思想和方法
空间中的距离问题都可以转化为点面距离,故解决点面距离问题是一切距离问题的基础,通常有以下几种方法求空间中的点面距离:
(1)找出该点到平面的 垂线段 ,再找到垂线段所在的 三角形 ,然后 解直角三角形 求出垂线段的长度,运用这种方法求解关键在于垂足是否简洁找到及三角形是否易解.
(2)该点的垂线段不简洁查找时,可以将该点等价转化为其他点到相应平面的距离.
如:直线与平面 平行 时,该直线上任意一点到平面的距离相等;两平面 平行 时,其中一个平面上的任意一点到另一平面的距离相等;线段被平面 平分 时,线段两端的点到平面的距离相等.
(3)体积法:依据体积公式,若求出该几何体的 体积 和 底面积 ,也就可以求出高,即点到平面的距离.
在平面内的一条直线,假如和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直,这就是出名的三垂线定理,图解如下:
该定理是证明线面垂直的一种重要定理,值得留意的是,它的逆定理也是正确的,即假如平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.
1.已知A∈α,P∉α,PA与平面α所成的角为60°,PA=4,则PA在平面α上的射影的长度为( ).
A.2 B.2 C.3 D.4
【解析】 作PB⊥α,垂足为B,则PA在平面α上的射影为AB,且∠PAB=60°,所以AB=PA×cos 60°=2.
【答案】A
2.已知平面ABC∩平面ABD=AB,直线m,n满足:m⊥平面ABC,n⊥平面ABD,直线m,n所成的角为60°,则二面角C-AB-D的大小为( ).
A.30° B.60°
C.120° D.60°或120°
【解析】 两个半平面的垂线所成的角,与二面角相等或互补,故选D.
【答案】D
3.在三棱锥A-BCD中,AD⊥底面BCD,BD⊥DC,AD=BD=DC=1,则点D到平面ABC的距离h= .
【解析】等体积法:VA-BCD=VD-ABC,所以AD×S△BCD=h×SΔABC.明显△ABC为等边三角形,边长为,则S△ABC=·()2=,又S△BCD=,代入解得h=.
【答案】
4.四周体ABCD中,已知棱AC=BC=,其余各棱长都为1,求二面角A-CD-B的大小.
【解析】 由于AD=CD=1,AC=,
所以AD2+CD2=AC2,
所以AD⊥CD,
同理可得BD⊥CD,
所以∠ADB是二面角A-CD-B的平面角.
又由于AB=BD=AD=1,所以∠ADB=60°,
所以二面角A-CD-B的大小为60°.
求直线与平面所成的角
如图,二面角α-l-β的大小为45°,AB⊂α,BC⊂β,AB⊥l,BC⊥l,AB=,BC=1+.
求直线AC与平面β所成角的大小.
【方法指导】求直线与平面所成角的大小,关键是找到它们的平面角.
【解析】 作AD⊥BC交BC于点D,由于AB⊥l,BC⊥l,AB∩BC=B,所以l⊥平面ABC,又AD⊂平面ABC,
所以l⊥AD,且AD⊥BC,l∩BC=B,
所以AD⊥β,所以∠ACD为直线AC与平面β所成的平面角,
所以∠ABC为二面角α-l-β的平面角,所以∠ABC=45°,
所以AD=BD=AB×sin 45°=,
所以CD=BC-BD=1,tan∠ACD==,
所以∠ACD=60°.
故直线AC与平面β所成角的大小为60°.
【小结】通过斜线上的点作平面的垂线,找到直线与平面所成角的平面角,运用解三角形求解.
求二面角
如图,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于点D、E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.
【方法指导】本题的关键是找出(或作出)二面角的平面角,可结合图中的垂直关系,依据定义作出二面角的平面角.
【解析】∵SA⊥平面ABC,
∴SA⊥AC,SA⊥BC,SA⊥AB,SA⊥BD.
∵ED垂直平分SC,∴SE=EC.
∵SB=BC,∴SC⊥BE,
∴SC⊥平面BDE,∴SC⊥BD.
又∵SA⊥BD,∴BD⊥平面SAC,∴BD⊥AC,BD⊥DE,
∴∠EDC是二面角E-BD-C的平面角.
设SA=1,则SA=AB=1,
而SA⊥AC,SA⊥BC,SA⊥AB,
∴SB=BC=,SC=2,
∴在Rt△SAC中,∠ECA=30°,∴∠EDC=60°,
即二面角E-BD-C的大小为60°.
【小结】作为本题载体的三棱锥是一个格外重要的三棱锥,一般称为“双直三棱锥”,其特点是,SA⊥平面ABC,∠ABC=90°,对二面角的平面角的证明涉及了垂直关系的相互转化,因此它是我们需要娴熟把握的一个几何图形.
求点到直线的距离
如图,底面是正方形ABCD,PC⊥平面ABCD,E,F是AB,AD的中点,AB=4,PC=3.
(1)求证:EF⊥平面PCH;
(2)求点B到平面PEF的距离.
【方法指导】(1)依据EF垂直于平面PCH内两条相交直线易证;(2)本题中点B到平面PEF的距离不宜直接求,可以转化为直线BD上其他的点到平面PEF的距离或用等体积法.
【解析】 (1)∵E,F是AB,AD的中点,
∴EF∥BD,且在正方形ABCD中,AC⊥BD,
∴EF⊥HC.
又∵PC⊥平面ABCD,EF⊂平面ABCD,
∴EF⊥PC,HC∩PC=C,
∴EF⊥平面PCH.
(2)由(1)知EF∥BD,BD⊄平面PEF,
∴BD∥平面PEF,
设AC,BD交于点O,则点B到平面PEF的距离等于点O到平面PEF的距离,作OG⊥PH交PH于点G,
∵EF⊥平面PCH,OG⊂平面PCH,
∴OG⊥EF,且PH∩EF=H,
∴OG⊥平面PEF,
∴点O到平面PEF的距离就是OG的长,
由AB=4,PC=3易求得HC=3,OH=,PH=3.
由△OGH∽△PCH得:OG===.
∴点B到平面PEF的距离等于.
【小结】对于不易查找到点到面的垂线段时的点面距离问题,通常会等价地转化成其他的点到平面的距离,即平移法,或者接受等体积法,依据题设合理选择.
在三棱锥P-ABC中,侧面PAC与面ABC垂直,PA=PB=PC=3.
(1)求证:AB⊥BC;
(2)若AC=4,求PB与平面ABC所成角的余弦值.
【解析】 (1)如图所示,取AC中点D,连接BD,PD.
∵PA=PC,∴PD⊥AC.
又平面PAC⊥平面ABC,∴PD⊥平面ABC.
∵PA=PB=PC,∴DA=DB=DC,
∴AC为△ABC的外接圆直径,
∴AB⊥BC.
(2)∵PD⊥平面ABC,
∴∠PBD即为PB与平面ABC所成角的平面角,
在Rt△ABC中,D是斜边AC的中线,
∴BD=AC=2,∴cos∠PBD==,
即PB与平面ABC所成角的余弦值为.
如图,在四周体ABCD中,△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等,且AB=AC=,BC=2,求以BC为棱,以平面BCD和平面ABC为面的二面角的大小.
【解析】取BC的中点E,连接AE、DE.
∵AB=AC,∴AE⊥BC.
又∵△ABD≌△BCD,∴DB=DC,
∴DE⊥BC,
∴∠DEA为二面角A-BC-D的平面角.
由△ABC≌△DBC可知,AB=AC=DB=DC=.
又∵△ABD≌△BDC,∴AD=BC=2,
在Rt△DEB中,DB=,BE=1,
∴DE==,同理AE=.
在△AED中,∵AE=DE=,AD=2,
∴AD2=AE2+DE2,
∴∠AED=90°,
∴以BC为棱,以平面BCD和平面ABC为面的二面角的大小为90°.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AC=BC=2,AB=AA1=2,E是AA1的中点,连接C1E,求点B到平面B1C1E的距离.
【解析】 设点B到平面B1C1E的距离为h,A1B1的中点为F,连接C1F,
由于AC=BC=2,
所以A1C1=B1C1=2,
所以C1F⊥A1B1,C1F=,
又AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥C1F,且AA1∩A1B1=A1,
所以C1F⊥平面AA1B1B,
连接BE,则=,即h=·C1F·,
由于AB=AA1=2,AC=BC=2,
所以B1E=BE=,BB1=2,
所以=×2×2=4,
又由于B1E=,C1E==,B1C1=2,
所以B1 E2 = C1 E2 + B1 ,
所以C1E⊥B1C1,=C1E·B1C1=××2=,
所以·h×=·×4,解得h=.
所以点B到平面B1C1E的距离为h=.
1.线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍,则AB所在直线与平面α所成的角为( ).
A.30° B.45° C.60° D.120°
【解析】 由直角三角形的边角关系,可知直线与平面α所成的角为60°.
【答案】C
2.已知矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,在CD上截取CE=4,将△BCE沿BE旋转90°后如图所示,记旋转后的C的位置为C',则C'到AB的距离为( ).
A.2 B.2 C.2 D.4
【解析】 取BE中点为F,C'E=C'B=4,所以C'F⊥BE,所以C'F⊥平面ABED,作C'G⊥AB,连接FG,易证FG⊥AB,所以FG=2,C'F=2,所以C'G=2.
【答案】B
3.三棱锥P-ABC,PA=PB=PC=,AB=10,BC=8,CA=6,则二面角P-AC-B的大小为 .
【解析】 易发觉底面ABC是直角三角形,PA=PB=PC,所以P在底面ABC的射影是△ABC的外心,即斜边AB的中点D,作DE⊥AC,交AC于点E,
则∠PED是所求二面角的平面角,求得DE=4,PE=8,cos∠PED=,
所以∠PED=60°,即二面角P-AC-B的大小为60°.
【答案】60°
4.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,Q是PC中点,AC,BD交于O点.求二面角Q-BD-C的大小.
【解析】连接QO,则QO∥PA且QO=PA=AB.
∵PA⊥平面ABCD,
∴QO⊥平面ABCD.
∵QO⊂平面QBD,
∴平面QBD⊥平面ABCD.
故二面角Q-BD-C的大小等于90°.
(2021年·全国大纲卷)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( ).
A. B. C. D.
【解析】连接AC交BD于O,连接C1O,则BD⊥平面CC1O.过C作CE⊥C1O,垂足为E,则CE⊥平面BDC1,连接DE,则∠CDE为所求线面角,设CD=1,则CC1=2, CO=,
∴C1O=,则CE==,∴sin∠CDE=.
【答案】A
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