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其次章测试
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若实数a，b满足b>a>0，且a＋b＝1，则下列四个数最大的是( )
A．a2＋b2 B．2ab
C. D．a
答案 A
2．下面使用类比推理正确的是( )
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)·c＝ac＋bc”类推出“(a·b)·c＝ac·bc”
C．“(a＋b)·c＝ac＋bc”类推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”
解析 由类比出的结果正确知，选C.
答案 C
3．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出全部三角形的内角和都是180°；
③某次考试张军成果是100分，由此推出全班同学成果都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．①② B．①③④
C．①②④ D．②④
答案 C
4．下面用“三段论”形式写出的演绎推理：由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数，y＝()x是指数函数，所以y＝()x在(0，＋∞)上是增函数．
该结论明显是错误的，其缘由是( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．以上都可能
解析 大前提是：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在(0，
＋∞)上是增函数，这是错误的．
答案 A
5．若a，b，c不全为0，必需且只需( )
A．abc≠0
B．a，b，c中至多有一个不为0
C．a，b，c中只有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
解析 不全为0即至少有一个不为0.
答案 D
6．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适( )
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
解析 只有平行四边形与平行六面体比较接近．故选C.
答案 C
7．求证：＋>.
证明：由于＋和都是正数，
所以为了证明＋>，
只需证明(＋)2>()2，
开放得5＋2>5，即2>0，
明显成立，
所以不等式＋>.
上述证明过程应用了( )
A．综合法
B．分析法
C．综合法、分析法协作使用
D．间接证法
答案 B
8．若a，b，c均为实数，则下面四个结论均是正确的：
①ab＝ba；②(ab)c＝a(bc)；③若ab＝bc，b≠0，则a－c＝0；④若ab＝0，则a＝0或b＝0.
对向量a，b，c，用类比的思想可得到以下四个结论：
①a·b＝b·a；②(a·b)c＝a(b·c)；③若a·b＝b·c，b≠0，则a＝c；④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.
其中结论正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 由向量数量积的性质知，只有①正确，其他均错．
答案 B
9．设S(n)＝＋＋＋＋…＋，则( )
A．S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)＝＋
B．S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
C．S(n)共有n2－n项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
D．S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
解析 由分母的变化知S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋.
答案 D
10．设f(x)＝，又记f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n＝1,2，…，则f2021(x)＝( )
A. B.
C．x D．－
解析 f1(x)＝，f2(x)＝＝－，
f3(x)＝＝，f4(x)＝x，f5(x)＝，…，
fn＋4(x)＝fn(x)．
∴f2021(x)＝f1(x)＝.
答案 A
11．观看下表：
1 2 3 4…第一行
2 3 4 5…其次行
3 4 5 6…第三行
4 5 6 7…第四行
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
第一列 其次列 第三列 第四列
依据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为( )
A．2n－1 B．2n＋1
C．n2－1 D．n2
解析 观看数表可知，第n行第n列交叉点上的数依次为1,3,5,7，…，2n－1.
答案 A
12．对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：
(a，b)＝(c，d)当且仅当a＝c，b＝d；运算“⊗”为：
(a，b)⊗(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“⊕”为：
(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)．设p、q∈R，若(1,2)⊗(p，q)＝(5,0)，则(1,2)⊕(p，q)等于( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－4)
解析 由运算的定义知(1,2)(p，q)＝(p－2q,2p＋q)＝(5,0)，
∴解得
∴(1,2)(p，q)＝(1,2)(1，－2)＝(2,0)．
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)
13．对于平面几何中的命题“假如两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“__________________________________________
_______________________________________________________”．
答案 假如两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补
14．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围是________．
解析 假设这两个方程都没有实数根，则
即
即
∴－2<a<－1.
故两个方程至少有一个有实数根，a的取值范围是a≤－2或a≥－1.
答案 (－∞，－ 2]∪
(2) 使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，由于两个无理数的和不肯定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．
(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出冲突，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出冲突，所以不是反证法．
19．(12分)证明：若a>0，则 －≥a＋－2.
证明 ∵a>0，要证 －≥a＋－2，
只需证 ＋2≥a＋＋，
只需证( ＋2)2≥(a＋＋)2，
即证a2＋＋4＋4≥a2＋＋4＋2(a＋)，
即证 ≥(a＋)，
即证a2＋≥(a2＋＋2)，
即证a2＋≥2，
即证(a－)2≥0，
该不等式明显成立．
∴ －≥a＋－2.
20．(12分)已知数列{an}和{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn.
求证：数列{cn}不是等比数列．
证明 假设{cn}是等比数列，则c1，c2，c3成等比数列．设{an}，{bn}的公比分别为p和q且p≠q，则a2＝a1p，a3＝a1p2，b2＝b1q，b3＝b1q2.
∵c1，c2，c3成等比数列，
∴c＝c1·c3，
即(a2＋b2)2＝(a1＋b1)(a3＋b3)．
∴(a1p＋b1q)2＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)．
∴2a1b1pq＝a1b1p2＋a1b1q2.
∴2pq＝p2＋q2，∴(p－q)2＝0.
∴p＝q与已知p≠q冲突．
∴数列{cn}不是等比数列．
21．(12分)如右图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离．
解 (1)∵PD⊥平面ABCD，
BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.
由∠BCD＝90°，得BC⊥DC.
又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.
∵PC⊂平面PDC，∴BC⊥PC，即PC⊥BC.
(2)连接AC.设点A到平面PBC的距离为h，
∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°.
从而由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1，
由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P－ABC的体积V＝S△ABC·PD＝.
∵PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，
∴PD⊥DC，又PD＝DC＝1.
∴PC＝＝.
由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝，
由V＝S△PBC·h＝··h＝，得h＝.
因此，点A到平面PBC的距离为.
22．(12分)已知f(x)＝(x≠－，a>0)，且f(1)＝log162，f(－2)＝1.
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)已知数列{xn}的项满足xn＝…，试求x1，x2，x3，x4；
(3) 猜想{xn}的通项公式．
解 (1) 把f(1)＝log162＝，f(－2)＝1，代入函数表达式得
即
解得(舍去a＝－<0)，
∴f(x)＝(x≠－1)．
(2) x1＝1－f(1)＝1－＝
x2＝＝×(1－)＝
x3＝＝×(1－)＝，
x4＝×(1－)＝.
(3) 由(2)知，x1＝，x2＝＝，x3＝，x4＝＝，…，由此可以猜想xn＝.
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