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温馨提示:温馨提示:此套题为此套题为 WordWord 版,请按住版,请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴,调整合适的观看比滑动鼠标滚轴,调整合适的观看比例,答案解析附后。关闭例,答案解析附后。关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。课时课时提升作业提升作业(二十二十五五)平面对量的数量积平面对量的数量积 (25(25 分钟分钟 6 60 0 分分)一、选择题一、选择题(每小题每小题 5 5 分分,共共 2525 分分)1.ABC 中 A(2,1),B(0,4),C(5,6),则AB AC=()A.7 B.8 C.9 D.10【解析】选 C.由已知得AB=(-2,3),AC=(3,5),所以AB AC=-23+35=9.2.(2021厦门模拟)若向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b 与 a-b 的夹角等于 ()A.-B.C.D.【解析】选 C.由于 2a+b=(3,3),a-b=(0,3),设 2a+b 与 a-b 的夹角为,所以 cos=.又0,故=.3.(2021滨州模拟)已知向量 a=(3,1),b=(0,1),c=(k,3),若 a+2b 与 c 垂直,则k=()A.-3 B.-2 C.-1 D.1【解题提示】利用坐标表示 a+2b,再利用垂直条件得方程求解.【解析】选 A.由已知得 a+2b=(3,3),故(a+2b)c=(3,3)(k,3)=3k+33=0.解得 k=-3.【加固训练】已知平面对量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60,则“m=1”是“(a-mb)a”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选 C.当 m=1 时,(a-b)a=a2-ab=1-12cos 60=0,故(a-b)a;反之当(a-mb)a 时,有(a-mb)a=a2-mab=1-m(12cos 60)=1-m=0,则 m=1.综上“m=1”是“(a-mb)a”的充要条件.4.(2021绵阳模拟)已知向量 a=(1,1),b=(2,y),若|a+b|=ab,则 y=()A.-3 B.-1 C.1 D.3【解析】选 D.由于 a=(1,1),b=(2,y),所以 a+b=(3,y+1),ab=2+y,由于|a+b|=ab.所以29y2y1=2+y,所以 y=3.5.(2021厦门模拟)在ABC 中,A=120,AB AC=-1,则|BC|的最小值 是()A.2 B.2 C.6 D.6【解析】选 C.由 当且仅当ACAB时等号成立.所以|BC|6,故选 C.二、填空题二、填空题(每小题每小题 5 5 分分,共共 1515 分分)6.已知向量 a=(cos,sin),b=(23,2),则|2a-b|的最大值为 .【解析】由已知得|2a-b|2=4a2+b2-4ab=4+16-4(23cos+2sin)=20-1631(cossin)22 =20-16sin(),3 所以当+3=2k-2(kZ),即=2k-56(kZ)时,|2a-b|2max=36.所以|2a-b|的最大值为 6.答案:6 7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知OA3,1,OB0,2.OC AB0,ACOB,若则实数的值为 .【解析】由已知得AB=(-3,3),设 C(x,y),则OC AB=-3x+3y=0,所以 x=y.AC=(x-3,y+1).又ACOB,即(x-3,y+1)=(0,2),所以x30,y12,由 x=y 得,y=3,所以=2.答案:2 8.(2021东营模拟)若两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量 a+b 与 a的夹角为 .【解析】由|a+b|=|a-b|,得 a2+2ab+b2=a2-2ab+b2,即 ab=0,所以(a+b)a=a2+ab=|a|2.故向量 a+b 与 a 的夹角的余弦值为 cos=12.又 0,所以=3.答案:3 三、解答题三、解答题(每小题每小题 1010 分分,共共 2020 分分)9.(10 分)已知平面对量 a=(1,x),b=(2x+3,-x)(xR).(1)若 ab,求 x 的值.(2)若 ab,求|a-b|.【解析】(1)由 ab 得,2x+3-x2=0,即(x-3)(x+1)=0.解得 x=3 或 x=-1.(2)由 ab,则 2x2+3x+x=0,即 2x2+4x=0,得 x=0 或 x=-2.当 x=0 时,a=(1,0),b=(3,0),所以 a-b=(-2,0).此时|a-b|=2.当 x=-2 时,a=(1,-2),b=(-1,2),则 a-b=(2,-4).故|a-b|=22242 5.10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61.(1)求 a 与 b 的夹角.(2)求|a+b|.(3)若AB=a,BC=b,求ABC 的面积.【解析】(1)由于(2a-3b)(2a+b)=61,所以 4|a|2-4ab-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以 64-4ab-27=61,所以 ab=-6,所以 cos=又 0,所以=23.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13,所以|a+b|=13.(3)由于ABBC与的夹角=23,所以ABC=2.33又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3,所以ABC113SAB BC sin ABC4 33 3.222 (20(20 分钟分钟 4040 分分)1.(5 分)(2021石家庄模拟)在ABC 中,AB=4,AC=3,AC BC=1,则 BC=()A.3 B.2 C.2 D.3【解题提示】利用已知条件,求得AB,AC夹角的余弦,再用余弦定理求 BC.【解析】选 D.设A=,由于BCACAB,AB=4,AC=3,所以2AC BCACAC AB9AC AB1.2.(5 分)(2021太原模拟)在ABC 中,设22ACAB2AM BC,那么动点 M 的轨迹必通过ABC 的()A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心【解析】选 C.假设 BC 的中点是 O,则 22ACABACABACAB 2AO BC2AM BC,即AOAM BCMO BC0,MOBC,所以所以动点 M 在线段 BC 的中垂线上,所以动点 M 的轨迹必通过ABC 的外心.【加固训练】(2021兰州模拟)若ABC 的三个内角 A,B,C 度数成等差数列,且ABAC BC=0,则ABC 确定是()A.等腰直角三角形 B.非等腰直角三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形【解析】选 C.由于 ABAC BC0,ABACACAB0,所以所以22ACAB=0,即ACAB,又 A,B,C 度数成等差数列,故 2B=A+C,又 A+B+C=,所以 2B=-B,所以 3B=,B=3,故ABC 是等边三角形.3.(5 分)设两个向量 a,b,满足|a|=2,|b|=1,a 与 b 的夹角为3,若向量 2ta+7b 与a+tb 的夹角为钝角,则实数 t 的范围为 .【解析】由向量 2ta+7b 与 a+tb 的夹角为钝角,得0,即(2ta+7b)(a+tb)0,化简即得 2t2+15t+70,解得-7t-12,当夹角为时,也有(2ta+7b)(a+tb)0,但此时夹角不是钝角,设 2ta+7b=(a+tb),0,答案:【误区警示】解答本题易忽视向量 2ta+7b 与 a+tb 共线反向的状况,而得错误答案.4.(12 分)已知点 A(1,0),B(0,1),C(2sin,cos).(1)若的值.(2)若OA2OB OC=1,其中 O 为坐标原点,求 sincos的值.【解析】由于 A(1,0),B(0,1),C(2sin,cos),所以AC=(2sin-1,cos),BC=(2sin,cos-1).(1)ACBC,所以2222(2sin1)cos(2sin)(cos1),化简得 2sin=cos,所以 tan=12,所以(2)OA1,0,OB0,1,OC=(2sin,cos),所以OA2OB=(1,2),由于OA2OB OC=1,所以 2sin+2cos=1.所以(sin+cos)2=14,所以 sincos=-38.5.(13 分)(力气挑战题)已知平面对量 a,b 满足|a|=2,|b|=1,(1)若|a-b|=2,试求 a 与 b 的夹角的余弦值.(2)若对一切实数 x,|a+xb|a+b|恒成立,求 a 与 b 的夹角.【解析】(1)由于|a|=2,|b|=1,|a-b|=2.所以|a-b|2=4,即 a2-2a b+b2=4,2-2a b+1=4,所以 a b=-12.设 a 与 b 的夹角为,(2)令 a 与 b 的夹角为.由|a+xb|a+b|,得(a+xb)2(a+b)2,化为(x2-1)|b|2+(2x-2)|a|b|cos0,由于|a|=2,|b|=1,所以(x2-1)+(2x-2)2cos0,当 x=1 时,式子明显成立;【一题多解】本题(2)还可有如下解法:令 a 与 b 的夹角为,由|a+xb|a+b|,得(a+xb)2(a+b)2,由于|a|=2,|b|=1,所以 x2+22xcos-22cos-10,对一切实数 x 恒成立,所以=8cos2+82cos+40,即(2cos+1)20,故 cos=-22,由于0,所以=34.关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块
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