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高考小题分项练
高考小题分项练(一)
(推举时间：40分钟)
1．(2022·课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B等于( )
A．[－2，－1] B．[－1,2)
C．[－1,1] D．[1,2)
答案 A
解析 ∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}，
∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]，故选A.
2．(2022·湖南)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案 C
解析 当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．
当x>y时，x2>y2不愿定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．
由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．故选C.
3．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 015)＋f(2 016)的值为( )
A．－1 B．－2
C．2 D．1
答案 A
解析 由已知f(x)为R上奇函数且周期为2，对于任意的实数x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，∴f(－2 015)＋f(2 016)＝－f(2 015)＋f(2 016)＝－f(2×1 007＋1)＋f(2×1 008＋0)＝－f(1)＋f(0)＝－log22＋log21＝－1.
4．已知命题p、q，“綈p为真”是“p∧q为假”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由于綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出綈p为真．
综上可知，“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．
5．已知f(x＋1)＝f(x－1)，f(x)＝f(－x＋2)，方程f(x)＝0在[0,1]内有且只有一个根x＝，则f(x)＝0在区间[0,2 013]内根的个数为( )
A．2 011 B．1 006
C．2 013 D．1 007
答案 C
解析 由f(x＋1)＝f(x－1)，可知f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是2，由f(x)＝f(－x＋2)可知函数f(x)关于直线x＝1对称，由于函数f(x)＝0在[0,1]内有且只有一个根x＝，所以函数f(x)＝0在区间[0，2 013]内根的个数为2 013个，选C.
6．“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin 2x过原点．当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不愿定有φ＝π.所以“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过原点”的充分不必要条件．
7．设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，f(x)( )
A．有极大值，无微小值
B．有微小值，无极大值
C．既有极大值又有微小值
D．既无极大值也无微小值
答案 D
解析 由x2f′(x)＋2xf(x)＝，
得f′(x)＝，令g(x)＝ex－2x2f(x)，x＞0，
则g′(x)＝ex－2x2f′(x)－4xf(x)＝ex－2·＝.令g′(x)＝0，得x＝2.
当x＞2时，g′(x)＞0；当0＜x＜2时，g′(x)＜0，
∴g(x)在x＝2时有最小值g(2)＝e2－8f(2)＝0，
从而当x＞0时，f′(x)≥0，
则f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以函数f(x)无极大值，也无微小值．
8．已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x的不等式f(x＋a)<f(x)的解集为A.若⊆A，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.
答案 A
解析 ∵⊆A，∴f(a)<f(0)，
∴a(1＋a|a|)<0，解得－1<a<0，可排解C.
∵f<f，
∴<－，
∴a<－a.
∵－1<a<0，∴>－，
∴－2>－，∴2<，
∴<a<0.排解B，D.应选A.
9．若变量x，y满足|x|－ln ＝0，则y关于x的函数图象大致是( )
答案 B
解析 由|x|－ln ＝0，有y＝＝利用指数函数图象可知答案选B.
10．已知f(x)＝且函数y＝f(x)＋x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(0,1]
C．(－∞，0] D．(－∞，2]
答案 A
解析 当x<0时，f(x)＝(x＋1)2＋a－1，把函数f(x)在[－1,0)上的图象向右平移一个单位即得函数y＝f(x)在[0,1)上的图象，连续右移可得函数f(x)在[0，＋∞)上的图象．假如函数y＝f(x)＋x恰有3个不同的零点，即函数y＝f(x)，y＝－x的图象有三个不同的公共点，实数a应满足最小值a－1≤0，即可，即a≤1.
11．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|kx－y－2≤0}，其中x，y∈R.若A⊆B，则实数k的取值范围是________．
答案 [－， ]
解析 要使A⊆B，只需直线kx－y－2＝0与圆相切或相离，
所以d＝≥1，解得－≤k≤.
12．已知函数f(x)＝ln x，若任意x1、x2∈[2,3]且x2>x1，t＝，则实数t的取值范围是________．
答案 (，)
解析 对函数求导得f′(x)＝，可得当x∈[2,3]时
f′(x)>0，函数在x∈[2,3]上单调递增，又f′(2)＝，f′(3)＝，依据题意得f′(3)<t<f′(2)，<t<.
13．函数f(x)＝ln x＋ax(a∈R)存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，2)
解析 f′(x)＝＋a，∵函数f(x)存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴＋a＝2，即a＝2－<2.
14．在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝(x>0)图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的全部值为________．
答案 ，－1
解析 |PA|2＝(x－a)2＋2
＝x2＋－2ax－＋2a2
＝2－2a＋2a2－2
＝2＋a2－2
由x>0，得x＋≥2，
由已知条件或
解得a＝或a＝－1.
15．假如对定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”．给出下列函数①y＝－x3＋x＋1；②y＝3x－2(sin x－cos x)；③y＝ex＋1；④f(x)＝以上函数是“H函数”的全部序号为________．
答案 ②③
解析 x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，
即(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，
所以函数f(x)在R上是增函数．
对于①，由y′＝－3x2＋1>0得－<x<，即函数在区间(－，)上是增函数，其不是“H函数”；
对于②，由y′＝3－2(cos x＋sin x)＝3－2sin(x＋)>0恒成立，所以其为“H函数”；
对于③，由y′＝ex>0恒成立，所以其为“H函数”；
对于④，由于其为偶函数，所以其不行能在R上是增函数．所以不是“H函数”
综上知，是“H函数”的有②③.
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