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课时提升作业(八)
一、选择题
1.(2021·郑州模拟)函数f(x)=的定义域为( )
(A)(0,+∞) (B)(1,+∞)
(C)(0,1) (D)(0,1)∪(1,+∞)
2.(2021·南平模拟)设集合A={x|}，B={y|y=lg x,1≤x≤100},则A∩B=( )
(A)［1,100］ (B)［1,2］
(C)［0,2］ (D)［0,10)
3.(2021·天津模拟)已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则( )
(A)a>b>c (B)a>c>b
(C)b>a>c (D)c>a>b
4.若点(a,b)在y=lgx的图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是( )
(A)(,b) (B)(10a,1-b)
(C)(,b+1) (D)(a2,2b)
5.(2021·黄冈模拟)已知实数a,b满足等式2a=3b,下列五个关系式:①0<b<a;
②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中可能成立的关系式有( )
(A)①②③ (B)①②⑤
(C)①③⑤ (D)③④⑤
6.(2021·泉州模拟)已知偶函数f(x)在[0,2]上递减,则a=f(1), b=f(),c=f()的大小关系是( )
(A)a>b>c (B)a>c>b
(C)b>a>c (D)c>a>b
7.若loga(a2+1)<loga2a<0,则a的取值范围是( )
(A)(0,1) (B)(0, )
(C)(,1) (D)(0,1)∪(1,+∞)
8.已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,则m,n的值分别为( )
(A),2 (B),4 (C), (D),4
9.(2021 ·杭州模拟)若函数f(x)=log3(x2-2ax+5)在区间(-∞，1］上单调递减，则a的取值范围是( )
(A)［1，+∞) (B)(1，+∞)
(C)［1，3) (D)［1，3］
10.(力气挑战题)设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是( )
(A)(-1,0)∪(0,1) (B)(-∞,-1)∪(1,+∞)
(C)(-1,0)∪(1,+∞) (D)(-∞,-1)∪(0,1)
二、填空题
11.计算:= .
12.函数y=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 .
13.已知f(3x)=4xlog23+233，则f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值是 .
14.(力气挑战题)已知f(x)=则f(2 012)= .
三、解答题
15.(2021·长春模拟)设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域.
(2)求f(x)在区间[0,]上的最大值.
答案解析
1.【解析】选D.由
∴0<x<1或x>1,故选D.
2.【解析】选B.A={x|}=［1,+∞),B={y|y=lg x,1≤x≤100}=［0,2］.
∴A∩B=［1,2］.
3.【解析】选B.a=log23.6=log43.62=log412.96,
∵log412.96>log43.6>log43.2,
∴a>c>b,故选B.
4.【解析】选D.∵点(a,b)在函数y=lgx的图象上,
∴b=lga,则2b=2lga=lga2,
故点(a2,2b)也在函数y=lgx的图象上.
5.【解析】选B.设2a=3b=k,则a=log2k,b=log3k.
在同始终角坐标系中分别画出函数y=log2x,y=log3x的图象如图所示,由图象知:
a<b<0或0<b<a或a=b.
6.【解析】选D.由题意知,b=f()=f(2),c=f()=f(-)=f(),
又函数f(x)在[0,2]上是减函数,因此f(2)<f(1)<f(),∴c>a>b.
7.【解析】选C.∵loga(a2+1)<0=loga1,a2+1>1,
∴0<a<1,∴a2+1>2a,又loga2a<0,即2a>1,
∴
解得<a<1.
【误区警示】本题易忽视loga2a<0这一条件,而误选A.
8.【解析】选A.f(x)=|log2x|=
则函数f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,
又m<n且f(m)=f(n),则0<m<1,n>1,
∴0<m2<m<1,
∴f(m2)>f(m)=f(n),
即函数f(x)在区间[m2,n]上的最大值为f(m2).
由题意知f(m2)=2,即-log2m2=2,
∴m=,由f(m)=f(n)得-log2=log2n,∴n=2.
9.【解析】选C.令g(x)=x2-2ax+5，则g(x)=(x-a)2+5-a2，由题意知，g(x)在区间(-∞，1］上单调递减且g(x)＞0，
∴∴1≤a＜3，故选C.
10.【思路点拨】a的范围不确定,故应分a>0和a<0两种状况求解.
【解析】选C.①当a>0时,-a<0,
由f(a)>f(-a)得log2a>,∴2log2a>0,∴a>1.
②当a<0时,-a>0,
由f(a)>f(-a)得>log2(-a),
∴2log2(-a)<0,∴0<-a<1,即-1<a<0,
由①②可知-1<a<0或a>1.
11.【解析】原式=lg4+lg2-lg7-lg8+lg7+lg5
=2lg2+(lg2+lg5)-2lg2=.
答案:
12.【解析】∵loga1=0,∴x-1=1,即x=2,此时y=2,因此函数恒过定点(2,2).
答案:(2,2)
13.【解析】令3x=t,则x=log3t,
∴f(t)=4log23·log3t+233=4log2t+233,
∴f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)
=4(log22+log24+log28+…+log228)+8×233
=4·log2(2·22·23·…·28)+8×233=4·log2236+1 864=4×36+1 864=2 008.
答案：2 008
14.【思路点拨】由当x≥0时,f(x)=f(x-7)知f(x)是周期为7的函数,由此可对f(2 012)进行化简.
【解析】当x≥0时,f(x)=f(x-7),即f(x+7)=f(x),从而f(2 012)=f(3)=f(-4)
=log44=1.
答案:1
15.【解析】(1)∵f(1)=2,∴loga4=2(a>0,a≠1),∴a=2.
由得x∈(-1,3),
∴函数f(x)的定义域为(-1,3).
(2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)
=log2(1+x)(3-x)=log2[-(x-1)2+4],
∴当x∈(-1,1]时,f(x)是增函数;
当x∈(1,3)时,f(x)是减函数,
函数f(x)在[0,]上的最大值是f(1)=log24=2.
【变式备选】已知函数f(x)=loga(3-ax).
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围.
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?假如存在,试求出a的值;假如不存在,请说明理由.
【解析】(1)由题设,3-ax>0对一切x∈[0,2]恒成立,设g(x)=3-ax,∵a>0,且
a≠1,∴g(x)=3-ax在[0,2]上为减函数.从而g(2)=3-2a>0,∴a<.
∴a的取值范围为(0,1)∪(1,).
(2)假设存在这样的实数a,由题设知f(1)=1,
即loga(3-a)=1,∴a=.
此时f(x)=,
当x=2时,f(x)没有意义,故这样的实数a不存在.
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