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第一课时 证明平行与垂直
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量是b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a·b＝0，则x＋y的值是( )
A．－3或1 B．3或－1
C．－3 D．1
解析 由题意知|a|＝＝6，
得x＝±4，由a·b＝4＋4y＋2x＝0得x＝－2y－2，
当x＝4时，y＝－3，所以x＋y＝1.
当x＝－4时，y＝1，所以x＋y＝－3，
综上x＋y＝－3或1.
答案 A
2．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．在平面内 D．平行或在平面内
解析 ∵＝λ＋μ，∴，，共面．则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．
答案 D
3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)三点，向量n＝(1,1,1)，则以n为方向向量的直线l与平面ABC的关系是( )
A．垂直 B．不垂直
C．平行 D．以上都有可能
解析 易知＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，∴·n＝－1×1＋1×1＋0＝0，·n＝0，则⊥n，⊥n，即AB⊥l，AC⊥l，又AB与AC是平面ABC内两相交直线，∴l⊥平面ABC.
答案 A
4．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为( )
A．平行
B．异面
C．垂直
D．以上都不对
解析 以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线
为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，依题意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0，2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)．
所以＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，
＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，
所以·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，
即⊥，所以AM⊥PM.
答案 C
5．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则( )
A．EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
解析 以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，
E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)，
＝，＝(－1，－1,1)，
＝－，·＝·＝0，
从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.故选B.
答案 B
6．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面相互垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为( )
A．(1,1,1) B.
C. D.
解析 设AC与BD相交于O，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO.
又O是正方形ABCD对角线交点，
∴M为线段EF的中点．
在空间坐标系中，E(0,0,1)，F(，，1)．
由中点坐标公式，知点M的坐标.
答案 C
二、填空题
7．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．
解析 设平面ABC的法向量为a＝(x，y，z)，
则即
①×3－②得2x＋y＝0，令x＝1，则y＝－2，z＝2，此时a＝(1，－2,2)，|a|＝＝3，所以平面ABC的单位法向量为±.
答案 ±
8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，假如＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．
解析 ∵·＝0，·＝0.
∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．
又与不平行，
∴是平面ABCD的法向量，则③正确．
由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，∴与不平行，故④错误．
答案 ①②③
9．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，假如B1E⊥平面ABF，那么CE与DF的和的值为________．
解析 以D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x,1,1)，B1(1，1,0)，所以＝(x－1,0,1)，又F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，所以＝(1,1，y)，由于AB⊥B1E，故若B1E⊥平面ABF，只需·＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0⇒x＋y＝1.
答案 1
三、解答题
10．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：PB∥平面EFG.
证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，
∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0)．
∴＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)，
设＝s＋t，
即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，
∴解得s＝t＝2.
∴＝2＋2.
又∵与不共线，∴，与共面．
∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.
11.
如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．
(1)求证：PB∥平面EFH；
(2)求证：PD⊥平面AHF；
(3)求二面角H－EF－A的大小．
解 建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0，0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0)．
(1)证明：∵＝(2,0，－2)，＝(1,0，－1)，
∴＝2，∴PB∥EH.
∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，
∴PB∥平面EFH.
(2)证明：＝(0,2，－2)，＝(1,0,0)，＝(0,1,1)，
·＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，
·＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，
∴PD⊥AF，PD⊥AH，
又∵AF∩AH＝A，∴PD⊥平面AHF.
(3)设平面HEF的法向量为n＝(x，y，z)，
∵＝(0,1,0)，＝(1,0，－1)，
∴取n＝(1,0,1)．
又∵平面AEF的法向量为m＝(1,0,0)，
∴cos〈m，n〉＝＝＝＝，
∴〈m，n〉＝45°，∴二面角H－EF－A的大小为45°.
1．已知平面ABC，点M是空间任意一点，点M满足条件＝＋＋，则直线AM( )
A．与平面ABC平行
B．是平面ABC的斜线
C．是平面ABC的垂线
D．在平面ABC内
解析 由已知得M、A、B、C四点共面，所以AM在平面ABC内，选D.
答案 D
2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
以上正确说法的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴∥，∴A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥面DCC1D1，A1M∥面D1PQB1.①③④正确．
答案 C
3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP相互平分，则满足＝λ的实数λ有________个．
解析 建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P(x，y,2)，O(1,1,0)，∴OP的中点坐标为，
又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，而Q在MN上，∴xQ＋yQ＝3，
∴x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1.
∴有2个符合题意的点P，即对应有2个λ.
答案 2
4．(2021·北京模拟)如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2.四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，且＝＝λ.
(1)求证：EF∥平面PAD.
(2)是否存在实数λ，使得平面AFD⊥平面PCD？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)证明：由已知，＝＝λ，所以EF∥BC.
由于BC∥AD，所以EF∥AD.
而EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
(2)由于平面ABCD⊥平面PAC，
平面ABCD∩平面PAC＝AC，且PA⊥AC，
所以PA⊥平面ABCD.所以PA⊥AB，PA⊥AD.
又由于AB⊥AD，所以PA，AB，AD两两垂直．
如图所示，建立空间直角坐标系，由于AB＝BC＝1，PA＝AD＝2，
所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．
设F(x0，y0，z0)，则＝(x0，y0，z0－2)，＝(1,1，－2)．
由已知＝λ，
所以(x0，y0，z0－2)＝λ(1,1，－2)，
所以所以＝(λ，λ，2－2λ)．
设平面AFD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z2)，
由于＝(0,2,0)，所以
即
令z1＝λ，得n1＝(2λ－2,0，λ)．
设平面PCD的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
由于＝(0,2，－2)，＝(－1,1,0)，
所以即
令x2＝1，则n2＝(1,1,1)．
若平面AFD⊥平面PCD，则n1·n2＝0，
所以(2λ－2)＋λ＝0，解得λ＝.
所以当λ＝时，平面AFD⊥平面PCD.
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