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课时提升作业(五十二)
用样本估量总体
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.某厂10名工人在一个小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,
17,17,16,14,12,设该组数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则有( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
【解析】选D.把该组数据按从小到大的挨次排列为10,12,14,14,15,15,
16,17,17,17,其平均数a=×(10+12+14+14+15+15+16+17+17+17)=14.7,中位数b==15,众数c=17,则a<b<c.
2.若一个样本容量为8的样本的平均数为5,方差为2.现样本中又加入一个新数据5,此时样本容量为9,平均数为x,方差为s2,则( )
A.x=5,s2<2 B.x=5,s2>2
C.x>5,s2<2 D.x>5,s2>2
【解析】选A.设(x1+x2+…+x8)=5,
所以(x1+x2+…+x8+5)=5,
所以x=5,由方差定义及意义可知加新数据5后,
样本数据取值的稳定性比原来强,所以s2<2.
【加固训练】 (2022·嘉峪关模拟)样本a1,a2,a3,…,a10的平均数为a,样
本b1,b2,…,b10的平均数为b,那么样本a1,b1,a2,b2,a3,b3,…,a10,b10的平均数
是( )
A.a+b B.(a+b)
C.2(a+b) D.(a+b)
【解析】选B.由于样本a1,a2,a3,…,a10的平均数为a,样本b1,b2,…,b10的平均数为b,所以样本a1,b1,a2,b2,a3,b3,…,a10,b10的平均数是
3.(2021·汕头模拟)如图是依据某班同学在一次数学考试中的成果画出的频
率分布直方图,若80分以上为优秀,依据图形信息可知:这次考试的优秀率
为( )
A.25% B.30% C.35% D.40%
【解析】选B.80分以上的频率为(0.025+0.005)×10=0.3.
4.为了让人们感知丢弃塑料袋对环境造成的影响,某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢的塑料袋的数量,结果如下(单位:个):33,25,28,26,25,31.假如该班有45名同学,那么依据供应的数据估量本周全班同学各家共丢弃塑料袋( )
A.900个 B.1080个 C.1260个 D.1800个
【解析】选C.由已知抽样数据可得平均数为=28个,据此可以估量本周全班同学各家共丢弃塑料袋的数量约为28×45=1260个.故选C.
5.(2021·福建高考)某校从高一班级同学中随机抽取部分同学,将他们的模块测试成果分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),
[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一班级共有同学600名,据此估量,该模块测试成果不少于60分的同学人数为( )
A.588 B.480 C.450 D.120
【解析】选B.不少于60分的频率为(0.030+0.025+0.015+0.010)×10=0.8,
所以所求同学人数为0.8×600=480(人).
【加固训练】为了了解某校高三同学的视力状况,随机地抽查了该校100名高三同学的视力状况,得到频率分布直方图如图所示.由于不慎将部分数据丢失,但知道前4组的频数成等比数列,后6组的频数成等差数列,设最大频率为a,视力在4.6到5.0之间的同学数为b,则a,b的值分别为( )
A.0.27,78 B.0.27,83
C.2.7,78 D.2.7,83
【解析】选A.由题意,4.5到4.6之间的频率为0.09,4.6到4.7之间的频率为0.27,后6组的频数成等差数列,设公差为d,则有6×0.27+15d=1-0.01-0.03-0.09,解得d=-0.05,然后可求得4.6到5.0之间的频率为0.27+0.22+0.17+0.12=0.78,所以同学数为100×0.78=78.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2021·宁德模拟)某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中,上学所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].则
(1)图中的x= .
(2)若上学所需时间不少于1小时的同学可申请在学校住宿,则该校600名新生中估量有 名同学可以申请住宿.
【解题提示】x等于该组的频率除以组距20.
【解析】由频率分布直方图知20x=1-20×(0.025+0.0065+0.003+0.003),解得x=0.0125.上学时间不少于1小时的同学频率为0.12,因此估量有0.12×600=72(名)同学可以申请住宿.
答案:(1)0.0125 (2) 72
7.(2021·芜湖模拟)某校对高三班级的同学进行体检,现将高三男生的体重(kg)数据进行整理后分成五组,并绘制频率分布直方图(如图),依据一般标准,高三男生的体重超过65kg属于偏胖,低于55kg属于偏瘦.已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25,0.20,0.10,0.05,第四小组的频数为100,则该校高三班级的男生中体重正常的人数为 .
【解析】由题意得其次小组的频率为1-(0.25+0.20+0.10+0.05)=0.40,所以体重正常的频率为0.40+0.20=0.60,又由第四小组的频数和频率可得高三男生的总人数为1000,所以体重正常的男生人数为1000×0.60=600.
答案:600
8.甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位:℃)用茎叶图记录如下,依据茎叶图可知,两城市中平均温度较高的城市是 ,气温波动较大的城市是 .
【解析】依据茎叶图可知,甲城市上半年的平均气温为=16,乙城市上半年的平均气温为=19,故两城市中平均气温较高的城市是乙.观看茎叶图可知,甲城市的气温更加集中在峰值四周,故乙城市的气温波动较大.
答案:乙 乙
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.某青年歌手大奖赛有5名歌手参赛,共邀请6名评委现场打分,得分统计如表:
竞赛规章:从6位评委打分中去掉一个最高分,去掉一个最低分,依据剩余4位评委打分算出平均分作为该歌手的最终得分.
(1)依据最终得分,确定5位歌手的名次.
(2)若对评委水平的评价指标规定为:计算他对每位歌手打分中最高分、最低分毁灭次数的和,和越小则评判水平越高,请以此为标准,对6位评委评判水平进行评价,以便确定下次聘请其中的4位评委.
【解析】(1)歌手1去掉最高分9.19和一个最低分9.08,最终平均分为9.15.
歌手2去掉最高分9.02和一个最低分8.89,最终平均分为8.95.
歌手3去掉最高分9.17和一个最低分8.80,最终平均分为9.00.
歌手4去掉最高分9.03和一个最低分8.80,最终平均分为8.90.
歌手5去掉最高分9.15和一个最低分8.81,最终平均分为9.05.
第1～5名依次为歌手1,歌手5,歌手3,歌手2,歌手4.
(2)由于评委1去掉4次,评委2去掉0次,评委3去掉0次,评委4去掉1次,评委5去掉0次,评委6去掉5次.
所以最终评委2,评委3,评委4,评委5可以续聘.
10.(2021·成都模拟)某一次学科测试成果的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如图.
(1)求参与测试的总人数及分数在[80,90)内的人数.
(2)若要从分数在[80,100]内的试卷中任取两份分析同学失分状况,求在抽取的试卷中,恰有一份分数在[90,100]内的概率.
【解析】(1)成果在[50,60)内的频数为2,由频率分布直方图可以看出,成果在[90,100]内同样有2人,由2n=10×0.008,解得n=25,成果在[80,90)内的人数为25-(2+7+10+2)=4人.
所以参与测试人数为25人,分数在[80,90)的人数为4.
(2)设“在[80,100]内的同学中任选两人,恰有一人分数在[90,100]内”为大事M.
将[80,90)内的4人编号为a,b,c,d;[90,100]内的2人编号为A,B,在[80,100]内任取两人的基本大事为:ab,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB共15个.其中,恰有一人成果在[90,100]内的基本大事有aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB共8个.
所以所求的概率P(M)=815.
(20分钟 40分)
1.(5分)(2021·淄博模拟)如图是一组样本数据的频率分布直方图,则依据图形中的数据,可以估量总体的平均数与中位数分别是( )
A.12.5,12.5
B.13,13
C.13.5,12.5
D.13.5,13
【解析】选B.依据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2,
其次组的频率为0.5,则第三组的频率为0.3,
则平均数为7.5×0.2+12.5×0.5+17.5×0.3=13,
由中位数的概念可以得到中位数在其次组区间(10,15]的的位置,即中位数为10+(15-10)×=13,所以中位数为13.
2.(5分)近年,一种化学名为“尼美舒利”的儿童退热药,被推上药品平安性疑虑的风口浪尖.国家药监局调查了这种药的100个相关数据,绘制成如图所示的频率分布直方图,再对落在[6,11),[21,26]两组内的数据按分层抽样方法抽取8个数据,那么[6,11),[21,26]中抽取的数据个数分别为 , .
【解析】落在[6,11)内的数据个数为5×0.05×100=25,落在[21,26]内的数据个数为5×0.03×100=15,依据分层抽样方法两组抽取的数据个数分别为5,3.
答案:5 3
3.(5分)已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5,若要使该总体的方差最小,则a,b的取值分别是 、 .
【解题提示】由中位数求得a,b之间的关系,然后将方差表示成关于a或b的函数,然后由最值求a或b.
【解析】由于中位数为10.5,
所以=10.5,a+b=21,
由于x==10,
所以s2=[(2-10)2+(3-10)2+(3-10)2+(7-10)2+(a-10)2+(b-10)2+
(12-10)2+(13.7-10)2+(18.3-10)2+(20-10)2].
令y=(10-a)2+(10-b)2=2a2-42a+221
当a=10.5时,y取最小值,方差s2也取最小值.
所以a=10.5,b=10.5.
答案:10.5 10.5
4.(12分)某中学高三班级从甲、乙两个班级各选出7名同学参与数学竞赛,他们取得的成果(满分100分)的茎叶图如图,其中甲班同学成果的平均分是85,乙班同学成果的中位数是83.
(1)求x和y的值.
(2)计算甲班7位同学成果的方差s2.
(3)从成果在90分以上的同学中随机抽取两名同学,求甲班至少有一名同学的概率.
参考公式:方差s2=[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2],其中x=.
【解题提示】(1)利用平均数求出x的值,中位数求出y的值.
(2)依据所给的茎叶图,得出甲班7位同学成果,把7位同学的成果和平均数代入方差的计算公式,求出这组数据的方差.
(3)设“甲班至少有一名同学”为大事A,其对立大事为从成果在90分以上的同学中随机抽取两名同学,甲班没有一名同学;先计算出从成果在90分以上的同学中随机抽取两名同学的全部抽取方法总数,和没有甲班一名同学的方法数目,先求出从成果在90分以上的同学中随机抽取两名同学,甲班没有一名同学的概率,进而结合对立大事的概率性质求得答案.
【解析】(1)由茎叶图可知甲班同学的总分为70×2+80×3+90×2+(8+9+5+x+0+6+2)=590+x,
又甲班同学成果的平均分是85,
总分又等于85×7=595,所以x=5,
乙班同学成果的中位数是80+y=83,得y=3.
(2)由于甲班7位同学成果分别为78,79,80,85,85,92,96.
甲班7位同学成果的平均数是x=85,
所以7位同学成果的方差是s2=(49+36+25+0+0+49+121)=40.
(3)设“甲班至少有一名同学”为大事A,
其对立大事为从成果在90分以上的同学中随机抽取两名同学,甲班没有一名同学;
依据茎叶图可得,甲班有2名同学成果高于90分,乙班有3名同学成果高于90分,
从甲、乙两个班级成果在90分以上的同学中随机抽取两名同学,有10种状况,而没有一名是甲班的有3种状况;
则P(A)=
5.（13分）(力气挑战题)对甲、乙两名篮球运动员分别在100场竞赛中的得分状况进行统计,作出甲的得分频率分布直方图如图所示,列出乙的得分统计表如表所示:
(1)估量甲在一场竞赛中得分不低于20分的概率.
(2)推断甲、乙两名运动员哪个成果更稳定.(结论不要求证明)
(3)在甲所进行的100场竞赛中,以每场竞赛得分所在区间中点的横坐标为这场竞赛的得分,试计算甲每场竞赛的平均得分.
【解题提示】(1)依据频率分布直方图,计算甲在一场竞赛中得分不低于20分的频率即可.
(2)依据甲乙运动员得分的分布状况,即可推断甲、乙两名运动员成果稳定的稳定性.
(3)依据平均数的计算公式,即可得到结论.
【解析】(1)依据频率分布直方图可知甲在一场竞赛中得分不低于20分的频率为0.048×10+0.024×10=0.48+0.24=0.72.
即甲在一场竞赛中得分不低于20分的概率为0.72.
(2)依据甲的频率分布直方图可知,甲的成果主要集中在[20,30),乙的成果比较分散,所以甲更稳定.
(3)由于组距为10,
所以甲在区间[0,10),[10,20),[20,30),[30,40)上得分频率值分别为
设甲的平均得分为S,
则S=(5×8+15×20+25×48+35×24)=23.80.
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