【复习参考】2021年高考数学(理)提升演练：正弦定理和余弦定理.docx

2021届高三数学（理）提升演练：正弦定理和余弦定理

一、选择题
1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c＝(　　)
A．5　　　　　　　　 B．10
C. D．5
2．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶，则此三角形的最大内角的度数是
(　　)
A．60° B．90°
C．120° D．135°
3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos2B＝(　　)
A．－ B.
C．－1 D．1
4．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)
A. B．8－4
C．1 D.
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
6．在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝2，AC＝1，∠BAD＝30°，则AD的长度为
(　　)
A. B.
C. D．2
二、填空题
7．在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sin A＝，则a＝________.
8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，S是△ABC的面积，
且4S＝a2＋b2－c2，则角C＝________.
9．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为__________．
三、解答题
10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B.
(1)求B；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.

11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
已知＝.
(1)求的值；
(2)若cos B＝， b＝2，求△ABC的面积S.

12．已知向量m＝(sin A，)与n＝(3，sin A＋cos A)共线，其中A是△ABC的内角．
(1)求角A的大小；
(2)若BC＝2，求△ABC的面积S的最大值，并推断S取得最大值时△ABC的外形．

详解答案：

1．解析：由于A＋B＋C＝180°，所以C＝180°－60°－75°＝45°.
由正弦定理，得c＝a＝10×＝.
答案：C
2．解析：∵在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c，
∴a∶b∶c＝1∶1∶，设a＝b＝k，c＝k(k>0)，最大边为c，其所对的角C为最大角，则cos C＝＝－，∴C＝120°.
答案：C
3．解析：∵acos A＝bsin B，∴sin Acos A＝sin2B，
∴sin Acos A＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.
答案：D
4．解析：由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4.　①
由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C＝2abcos 60°＝ab，　②
将②代入①得ab＋2ab＝4，即ab＝.
答案：A
5．解析：由sin C＝2sin B可得c＝2b，
由余弦定理得cos A＝＝＝，于是A＝30°.
答案： A
6．解析：延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM、MC，则四边形ABMC是平行四边形．在△ABM中，由余弦定理得BM2＝AB2＋AM2－2AB·AM·cos∠BAM，即12＝22＋AM2－2·2·AM·cos 30°，解得AM＝，所以AD＝.
答案：B
7．解析：依据正弦定理＝，得a＝＝.
答案：
8．解析：由4S＝a2＋b2－c2，得2S＝.
所以absin C＝，sin C＝cos C，所以tan C＝1.
C＝.
答案：
9．解析：不妨设角A＝120°，c<b，则a＝b＋4，c＝b－4，于是cos 120°＝＝－，解得b＝10，所以S＝bcsin 120°＝15.
答案：15
10．解：(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B.
故cos B＝，因此B＝45°.
(2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos45°＋cos 30°sin 45°＝.
故a＝b×＝＝1＋.
c＝b×＝2×＝.
11．解：(1)由正弦定理得，设＝＝＝k，
则＝＝，
＝.
即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．
又A＋B＋C＝π，
所以sin C＝2sin A.
因此＝2.
(2)由＝2得c＝2a.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B及cos B＝，b＝2，
得4＝a2＋4a2－4a2×.
解得a＝1，
从而c＝2.
又由于cos B＝，且0<B<π，
所以sin B＝，
因此S＝acsin B＝×1×2×＝.
12．解：(1)由于m∥n，
所以sin A·(sin A＋cos A)－＝0，
所以＋sin 2A－＝0，
即sin 2A－cos 2A＝1，即sin(2A－)＝1.
由于A∈(0，π)，以2A－∈(－，)．
故2A－＝，即A＝.
(2)由余弦定理，得4＝b2＋c2－bc，
又S△ABC＝bcsin A＝bc，
而b2＋c2≥2bc⇒bc＋4≥2bc⇒bc≤4(当且仅当b＝c时等号成立)，
所以S△ABC＝bcsin A＝bc≤×4＝，
当△ABC的面积最大时，b＝c，
又A＝，故此时△ABC为等边三角形．