高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章-类比推理应用中错误辨析.docx

类比推理应用中错误辨析
类比在数学思维中的作用主要表现为发觉问题、提出猜想、建立模型。欧拉曾经说过，类比是宏大的引路人，他曾多次利用类比的方法做出重大的数学发觉。然而，类比推理在全部的推理中是最不严格、最不确定的，它是一种或然推理，其结论正确与否有待实践来证明。本文所举几例正是同学在解题正不恰当的利用类比致使解题失误。
应用类比推理时只有本质相同或相近的事物才能进行类比，假如把仅仅形式上相像而本质上都不相同的事物不分青红皂白的乱用类比，就会造成错误。
1、性质类比致误
例1、函数的最小正周期是____________.
错解：由于函数y＝tanx的最小正周期是，所以函数的最小正周期是.
剖析：从前争辩过函数的周期性，由其图象（图1）可知它的最小正周期是y＝sinx周期的一半，由此类比；认为的周期就是y＝tanx周期的一半。
现作出的图象（图2），易见其最小正周期仍为.

2、方法类比致误
例2、一张三角形纸片内有99个点，连同该三角形的顶点共102个点，这些点无任何三点共线。若以这些点为顶点把三角形纸片剪成小三角形，可得到小三角形纸片（ ）个。
A、 B、 C、200 D199
错解：从这99（或102）个点中任取3个点，可以得到三角形的个数为（或），因而选A（或B）
剖析：此题初看似几何组合问题，因而误用组合计数来计算结果。但△DEC明显不合要求（图3）是否可用“去杂法”求解呢？事实证明这一想法也很难实现，下面给出两种正确解决方案：

解法1：设△ABC内有n个点时所得符合条件的小三角形的个数我f（n），当增加一个点H后（图4），点H将它所在的△BCF又分成了3个小三角形：△BFH、△BCH、△CFH，即每增加一个点后，小三角形的个数就增加两个，于是有fn＋1）＝f（n）＋2，所以f（n）是公差为2的等差数列，且首项f（1）＝3，所以f（n）＝2n＋1，则
f（99）＝2×99＋1＝199个，因而选D.
解法2：将图3中△ABC内各点全部“拎”起，使之成为一个凸多面体（图5），问题转化为：已知一个多面体的顶点数V＝102，每个面都是三角形，求其面数F.

由于楞数E＝F，代入欧拉公式V＋F＝E＋2得102＋F＝F＋2，所以F＝200，留意到△ABC已被剪掉，所以正确结果我200－1＝199个，选D.
点评：这一解法将平面图形类比到空间图形，转化为多面体的面数问题，进而利用欧拉公式来处理，手法之新颖令人拍案叫绝。
3、类比法则产生错误
例3、求方程有实数根的条件。
解：由于原方程有实数根，所以，所以，当时，原方程有实根。
剖析：本题的方程是虚系数方程，条件既不是它有实数根的充分条件，也不是必要条件。
正解：设方程有一实数根，则有

所以，＝0……………………………………（1）
………………………………………（2）
由（2）得＝－b，代入（1）得
所以，当b＝0或b＝1时，原方程有实数根。
点评：在复数的运算这一内容的学习中,首先要正确理解复数的各种运算法则的条件和实质。然后要明的确数集的运算性质在复数集中哪些照旧适用，哪些又不适用,不能适用的要防止实数集扩展到复数集的负迁移。即：
(1)|Z|2≠Z2
　　(2)Z1－Z2不能确定正负；
　　(3)Z2≥0不成立；
　　(4)Z12＋Z22＝0不能推出Z1＝0，Z2＝0；
　　(5)实数集内的根式运算法则在复集内受到很大的约束，要尽量避开在复数运算中使用根号，防止滥用根式运算法则。在复数各种运算法则的应用吵仅要留意真正用，更重要的是要留意其逆向应用和变形应用。
例4、若a、b都是非零向量，a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，则a与b的夹角为________.
错解：由题意得 即
（1） －（2）得：46a.b=23b,即：2a.b=b…………………………………………（3）
消去b得：2a＝b
所以：，所以
剖析：在（3）中，不能约去b得出2a＝b，这一点与实数乘法是不同的。把（3）代入（1），可得于是cos所以，即a与b的夹角为。
从以上几例可以看出，类比作为一种推理方法，既能成就宏大的发觉，也会导致“秀丽”的错误，所以在学习中既要大胆地、制造性地运用类比的方法提出猜想，也应明确类比并不是 具有证明效果的推理方法，对类比的结果应始终保持谨慎、探究的科学态度。通过图形印证、特例反对等各种手段进行检验，谨防类比惹了“祸”。