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第1讲 几何证明选讲
1．(2022·江苏卷)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE.
求证：∠E＝∠C.
证明 如图，连接OD，由于BD＝DC，O为AB的中点，所以OD∥AC，
于是∠ODB＝∠C.
由于OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.
于是∠B＝∠C.
由于点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.
2. (2011·江苏卷)如图，圆O1与O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．
求证：AB∶AC为定值．
证明 如图，连接AO1，并延长分别交两圆于点E和点D，连接BD、CE.
∵圆O1与圆O2内切于点A，
∴点O2在AD上，故AD、AE分别为圆O1，圆O2的直径．
从而∠ABD＝∠ACE＝90°.
∴BD∥CE，于是＝＝＝，
∴AB∶AC为定值．
3. (2021·常州一中期中)如图，从圆O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，求证：O、C、P、D四点共圆．
证明 ∵PA、PB为圆O的两条切线，
∴OP垂直平分弦AB，∴AM＝BM.
在Rt△OAP中，OM·MP＝AM2，
在圆O中，AM·BM＝CM·DM，
∴OM·MP＝CM·DM，
又弦CD不过圆心O，
∴O、C、P、D四点共圆．
4. 如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.
求证：FD2＝FB·FC.
证明 ∵E是Rt△ACD斜边AC的中点，
∴DE＝EA，∴∠A＝∠2.
又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A.
∵∠FDC＝∠CDB＋∠1＝90°＋∠1，
∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FDC＝∠FBD.
又∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，∴＝，
∴FD2＝FB·FC.
5. 如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.
(1)求证：AB2＝DE·BC；
(2)若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长．
(1)证明 ∵AD∥BC，∴＝.∴AB＝CD，
∠EDC＝∠BCD.又PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC.
∴△CDE∽△BCD.∴＝.
∴CD2＝DE·BC，即AB2＝DE·BC.
(2)解 由(1)知，DE＝＝＝4，
∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC，
∴＝＝.又∵PB－PD＝9，∴PD＝，PB＝.
∴PC2＝PD·PB＝·＝.∴PC＝.
6. (2021·南京、盐城模拟)如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.
(1)求证：四边形ACBE为平行四边形；
(2)若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长．
(1)证明 由于AE与圆相切于点A，所以∠BAE＝∠ACB.
由于AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，
所以∠ABC＝∠BAE，所以AE∥BC.
由于BD∥AC，所以四边形ACBE为平行四边形．
(2)解 由于AE与圆相切于点A，
所以AE2＝EB·(EB＋BD)，
即62＝EB·(EB＋5)，解得BE＝4.
依据(1)有AC＝BE＝4，BC＝AE＝6.
设CF＝x，由BD∥AC，得＝，即＝，
解得x＝，即CF＝.
7. (2022·泰州调研)已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.
(1)求证：FB＝FC；
(2)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝3，求AD的长．
(1)证明 ∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC.
∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC.
∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，
∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.
(2)解 ∵AB是圆的直径，∴∠ACD＝90°.
∵∠EAC＝120°，∠DAC＝∠EAC＝60°，∠D＝30°.
在Rt△ACB中，∵BC＝3，∠BAC＝60°，∴AC＝3，
又在Rt△ACD中，∠D＝30°，AC＝3，∴AD＝6.
8. (2021·宿迁联考)如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过点N的切线交CA的延长线于P.
(1)求证：PM2＝PA·PC；
(2)若⊙O的半径为2，OA＝OM，求MN的长．
(1)证明 连接ON.由于PN切⊙O于N，
所以∠ONP＝90°.
所以∠ONB＋∠BNP＝90°.
由于OB＝ON，所以∠OBN＝∠ONB.
由于BO⊥AC于O，所以∠OBN＋∠BMO＝90°.
所以∠BNP＝∠BMO＝∠PMN.所以PM＝PN.
所以PM2＝PN2＝PA·PC.
(2)解 OM＝2，BO＝2，BM＝4.
由于BM·MN＝CM·MA＝(2＋2)(2－2)＝8，
所以MN＝2.
9. (2021·新课标全国Ⅰ卷)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.
(1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
(1)证明 如图，连接DE，交BC于点G.
由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE，
而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以BE＝CE.
又由于DB⊥BE，所以DE为圆的直径，∠DCE＝90°.
由勾股定理可得DB＝DC.
(2)解 由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，
故DG是BC边的中垂线，所以BG＝.
设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，
所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径为.
10. (2022·南京模拟)如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，点P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C、D，且PC＝PD，求证：
(1)l是⊙O的切线；
(2)PB平分∠ABD.
证明 (1)如图，连接OP，
由于AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD.
又OA＝OB，PC＝PD，
所以OP∥BD.从而OP⊥l.
由于点P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．
(2)连接AP，由于l是⊙O的切线，
所以∠BPD＝∠BAP.
又∠BPD＋∠PBD＝90°，∠BAP＋∠PBA＝90°，
所以∠PBA＝∠PBD，即PB平分∠ABD.
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