2022届数学(文科)高考总复习-课时提升作业(六十二)-选修4-5-2证明不等式的基本方法.docx

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课时提升作业(六十二)
证明不等式的基本方法
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.设a,b,c是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是(　　)

【解析】选C.(a+3)2-(2a2+6a+11)=-a2-2<0,
故A恒成立;
在B项中不等式的两侧同时乘以a2,得a4+1≥a3+a⇐(a4-a3)+(1-a)≥0⇐a3(a-1)-(a-1)≥0⇐(a-1)2(a2+a+1)≥0,所以B项中的不等式恒成立;
对C项中的不等式,当a>b时,恒成立,当a<b时,不恒成立;
由不等式恒成立,知D项中的不等式恒成立.故选C.
2.设,则P,Q,R的大小关系是(　　)
A.P>Q>R B.P>R>Q
C.Q>P>R D.Q>R>P
【解析】选B.由于,所以,即P>R;又由于,所以,即R>Q,所以P>R>Q.
3.若α∈,M=|sinα|,N=|cosα|,P=|sinα+cosα|,则它们之间的大小关系为(　　)
A.M>N>P B.P>N>M
C.M>P>N D.N>P>M
【解析】选D.由于α∈,所以0>sinα>cosα,
所以|sinα|<|cosα|.
所以P=|sinα+cosα|= (|sinα|+|cosα|)
>(|sinα|+|sinα|)=|sinα|=M,
P=|sinα+cosα|<(|cosα|+|cosα|)
=|cosα|=N.
所以N>P>M.
二、填空题(每小题6分,共18分)
4.若a,b均为正数,则下列两式的大小关系为a5+b5　　　　a3b2+a2b3.
【解析】a5+b5-(a3b2+a2b3)
=a5+b5-a3b2-a2b3
=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)
=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)
=(a2-b2)(a3-b3)
=(a2-b2)(a-b)(a2+ab+b2)
=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2).
由于a,b均为正数,
所以a+b>0,(a-b)2≥0,a2+ab+b2>0,
所以(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)≥0,
即a5+b5-(a3b2+a2b3)≥0.
所以a5+b5≥a3b2+a2b3.
答案:≥
5.设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,则x,y的大小关系是　　　　.
【解析】由于x-y=m3(m-n)-n3(m-n)
=(m-n)(m3-n3)
=(m-n)2(m2+mn+n2)

由于m≠n,所以x-y>0,所以x>y.
答案:x>y
6.假如loga3>logb3,且a+b=1,则a与b的大小关系为　　　　.
【解析】由于a>0,b>0,又由于a+b=1,
所以0<a<1,0<b<1,
所以lg a<0,lg b<0,由loga3>logb3,
所以->0⇒->0,
所以>0⇒lg b>lg a,所以b>a.
答案:b>a
三、解答题(每小题16分,共64分)
7.(2021·莆田模拟)设a,b是非负实数,
求证:a2+b2≥(a+b).
【证明】由于(a2+b2)-(a+b)
=(a2-a)+(b2-b)
=a(-)+b(-)
=(-)(a-b)=(-)(-)
由于a≥0,b≥0,所以不论a≥b≥0,还是0≤a≤b,都有-与-同号,所以(-)(-)≥0,
所以a2+b2≥(a+b).
8.(2022·新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)=
(1)证明:f(x)≥2.
(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
【解析】(1)由a>0,有f(x)= +|x-a|≥.
所以f(x)≥2.
(2)f(3)=+|3-a|.
当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5,得3<a<.
当0<a≤3时,f(3)=6-a+,
由f(3)<5,得<a≤3.
综上,a的取值范围是.
9.已知x1,x2均为正数,求证:≥
【解题提示】利用分析法找思路来证明.
【证明】由于不等式两边均为正数,

再平方,得(1+)(1+)≥1+2x1x2+,
化简整理,得+≥2x1x2(明显成立).所以原不等式成立.
10.已知不等式|x+1|+|x-2|≥m的解集是R.
(1)求实数m的取值范围.
(2)在(1)的条件下,当实数m取得最大值时,试推断+>+是否成立?并证明你的结论.
【解析】(1)由确定值不等式性质知:
|x+1|+|x-2|≥|x+1+2-x|=3对x∈R恒成立.
故|x+1|+|x-2|≥m的解集为R,只需m≤3即可,
所以m的取值范围是(-∞,3].
(2)由(1)知实数m的最大值为3,
当m=3时,不等式+>+成立.
证明如下:要使+>+成立,
只需(+)2>(+)2,
等价于13+2>13+2,
等价于>,
等价于42>30,而42>30明显成立,故所证不等式成立.
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