2021高考数学(文)一轮知能检测：第5章-第1节-数列的概念与简单表示.docx

第一节　数列的概念与简洁表示

[全盘巩固]
1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　)
A．15 B．16 C．49 D．64
解析：选A　a8＝S8－S7＝82－72＝64－49＝15.
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k＝(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
解析：选B　由an＝
＝得an＝2n－10.
由5<2k－10<8，得7.5<k<9，由于k∈N*，所以k＝8.
3．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，则此数列是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摇摆数列
解析：选C　∵Sn＋Sn＋1＝an＋1，
∴当n≥2时，Sn－1＋Sn＝an.
两式相减，得an＋an＋1＝an＋1－an，
∴an＝0(n≥2)．
当n＝1时，a1＋(a1＋a2)＝a2，∴a1＝0，
∴an＝0(n∈N*)．
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5＝(　　)
A．－16 B．16 C．31 D．32
解析：选B　当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，∴a1＝1，
又Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，∴Sn－Sn－1＝an＝2(an－an－1)．
∴＝2.∴an＝1×2n－1，∴a5＝24＝16.
5．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a20＝(　　)
A．0 B．－ C. D.
解析：选B　利用a1＝0和递推公式可求得a2＝－，a3＝，a4＝0，a5＝－，以此类推，数列{an}的项周期性毁灭，其周期为3.所以a20＝a2＝－.
6．在数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝－1，则x2 013＝(　　)
A．－1 B．－ C. D．1
解析：选D　将x1＝1代入xn＋1＝－1，得x2＝－，再将x2代入xn＋1＝－1，得x3＝1，所以数列{xn}的周期为2，故x2 013＝x1＝1.
7．依据下图5个图形及相应点的个数的变化规律，猜想第n个图中有________个点．

　 (1)　　(2)　　(3)　　　(4)　　　(5)　　…
解析：观看图中5个图形点的个数分别为1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1，故第n个图中点的个数为(n－1)×n＋1＝n2－n＋1.
答案：n2－n＋1
8．数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．
解析：易知a1＝20>0，明显要想使和最大，则应把全部的非负项求和即可，这样只需求数列{an}的最终一个非负项．令an≥0，则－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可见，当n＝11时，a11＝0，故a10是最终一个正项，a11＝0，故前10或11项和最大．
答案：10或11
9．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a2＝________，an＝________.
解析：由an＝n(an＋1－an)，可得＝，
则an＝···…··a1＝×××…××1＝n，故a2＝2，an＝n.
答案：2　n
10．已知数列{an}．
(1)若an＝n2－5n＋4，
①数列中有多少项是负数？
②n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
(2)若an＝n2＋kn＋4，且对于n∈N*，都有an＋1>an成立．求实数k的取值范围．
解：(1)①由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.
∵n∈N*，∴n＝2,3.
∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.
②∵an＝n2－5n＋4＝2－的对称轴方程为n＝.
又n∈N*，∴n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.
(2)由an＋1>an，知该数列是一个递增数列，又由于通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看成是关于n的二次函数，又考虑到n∈N*，当－＝时a1＝a2，所以－<，即得k>－3.
故实数k的取值范围是(－3，＋∞)．
11．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3，a4的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得
a1＝a＋a1，解得a1＝1；
S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；
同理，a3＝3，a4＝4.
(2)Sn＝a＋an，①
当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②
①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.
由于an＋an－1≠0，
所以an－an－1＝1，
又由(1)知a1＝1，
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.
12．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)记bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
解：(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，
∴数列{bn}是首项b1＝a－3，公比为2的等比数列．
因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)×2n－1，n∈N*.
(2)由(1)知，Sn＝3n＋(a－3)×2n－1，n∈N*，
于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)×2n－1－3n－1－(a－3)×2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)×2n－2＝2n－2×12×n－2＋a－3，
∵an＋1≥an，∴12×n－2＋a－3≥0，∴a≥－9.
又a2＝a1＋3>a1，
综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．
[冲击名校]
1．(2022·衢州模拟)将石子摆成如图的梯形外形，称数列5,9,14,20，…为梯形数，依据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a2 014－5＝(　　)

A．2 020×2 012 B．2 020×2 013
C．1 010×2 012 D．1 010×2 013
解析：选D　结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4＋…＋(n＋2)．所以a2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝2 013×1 010.
2．数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 013＝________.
解析：由于a1＝∈，
所以a2＝2a1－1＝2×－1＝.
由于a2＝∈，
所以a3＝2a2－1＝2×－1＝.
由于a3＝∈，所以a4＝2a3＝2×＝.
明显a4＝a1，依据递推关系，逐步代入，得a5＝a2，a6＝a3，…故该数列的项呈周期性毁灭，其周期为3，依据上述求解结果，可得a3k＋1＝，a3k＋2＝，a3k＋3＝(k∈N)．
所以a2 013＝a3＝.
答案：