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第6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2022·北京西城区模拟)在△ABC中，若a＝4，b＝3，cos A＝，则B＝( )
A. B．
C. D．
解析 由于cos A＝，所以sin A＝＝，由正弦定理，得＝，所以sin B＝，又由于b＜a，所以B＜，B＝，故选A.
答案 A
2．(2021·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为 ( )
A. B．
C．2 D．2
解析 由于S＝×AB×ACsin A＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，所以BC＝.
答案 B
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为 ( )
A．2＋2 B．＋1
C．2－2 D．－1
解析 由正弦定理＝及已知条件，得c＝2，
又sin A＝sin(B＋C)＝×＋×＝.
从而S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝＋1.
答案 B
4．(2022·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＝2bcos C”是“△ABC是等腰三角形”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 依题意，由a＝2bcos C及正弦定理，得sin A＝2sin Bcos C，sin(B＋C)－2sin Bcos C＝sin Bcos C＋cos Bsin C－2sin Bcos C＝sin(C－B)＝0，C＝B，△ABC是等腰三角形；反过来，由△ABC是等腰三角形不能得知C＝B，a＝2bcos C．因此，“a＝2bcos C”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要条件，故选A.
答案 A
5．(2022·四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m, 则河流的宽度BC等于 ( )
A．240(－1) m B．180(－1) m
C．120(－1) m D．30(＋1) m
解析 如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，在Rt△ACD中，CD＝＝＝60(m)，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝
60(2－)(m)，
∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m)．
答案 C
二、填空题
6．(2022·新余模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为________．
解析 由余弦定理，得＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝，∴sin B＝，∴B＝或.
答案 或
7．(2022·广东卷)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知
bcos C＋ccos B＝2b，则＝________.
解析 由已知及余弦定理得b·＋c·＝2b，化简得a＝2b，则＝2.
答案 2
8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝，则sin B＝________.
解析 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4，即c＝2.由cos C＝得sin C＝.由正弦定理＝，得sin B＝＝×＝(或者由于c＝2，所以b＝c＝2，即三角形为等腰三角形，所以sin B＝sin C＝)．
答案
三、解答题
9．(2022·湖南卷)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
(1)求cos∠CAD的值；
(2)若cos∠BAD＝－，
sin ∠CBA＝，求BC的长．
解 (1)在△ADC中，由余弦定理，得
cos∠CAD＝.
故由题设知，cos∠CAD＝＝.
(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.
由于cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，
所以sin ∠CAD＝＝＝，
sin ∠BAD＝＝＝.
于是sin α＝sin(∠BAD－∠CAD)
＝sin ∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin ∠CAD
＝×－×
＝.
在△ABC中，由正弦定理，＝.
故BC＝＝＝3.
10．(2022·安徽卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值；
(2)求sin的值．
解 (1)由于A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B．
由正、余弦定理得a＝2b·.
由于b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2.
(2)由余弦定理得cos A＝＝＝－.
由于0<A<π，所以sin A＝＝＝.
故sin＝sin Acos＋cos Asin＝×＋×＝.
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
11．(2022·东北三省四市联考)在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，满足＋≥1，则角A的范围是 ( )
A. B．
C. D．
解析 由＋≥1，得b(a＋b)＋c(a＋c)≥(a＋c)(a＋b)，化简得b2＋c2－a2≥bc，即≥，即cos A≥(0＜A＜π)，所以0＜A≤，故选A.
答案 A
12．(2021·咸阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C，则sin A＋sin B的最大值是 ( )
A．1 B．
C. D．3
解析 由csin A＝acos C，得sin Csin A＝sin Acos C，又在△ABC中
sin A≠0，所以sin C＝cos C，tan C＝，C∈(0，π)，所以C＝.所以sin A＋sin B＝sin A＋sin＝sin A＋cos A＝sin，A∈，所以当A＝时，sin A＋sin B取得最大值，故选C.
答案 C
13．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________ .
解析 由正弦定理知＝＝，
∴AB＝2sin C，BC＝2sin A.
又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C)
＝2(sin C＋2sin 120°cos C－2cos 120°sin C)
＝2(sin C＋cos C＋sin C)
＝2(2sin C＋cos C)＝2sin(C＋α)，
其中tan α＝，α是第一象限角，由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值2.
答案 2
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B．
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
解 (1)由已知及正弦定理，
得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①
又A＝π－(B＋C)，
故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②
由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B．
又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.
由已知及余弦定理，得
4＝a2＋c2－2accos.又a2＋c2≥2ac，
故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．
因此△ABC面积的最大值为＋1.
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