1、第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1(2022北京西城区模拟)在ABC中,若a4,b3,cos A,则B()A. B C. D解析由于cos A,所以sin A,由正弦定理,得,所以sin B,又由于ba,所以B,B,故选A.答案A2(2021合肥模拟)在ABC中,A60,AB2,且ABC的面积为,则BC的长为()A. B C2 D2解析由于SABACsin A2AC,所以AC1,所以BC2AB2AC22ABACcos 603,所以BC.答案B3ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b2,B,C,则ABC的面积为()A22 B1 C22
2、D1 解析由正弦定理及已知条件,得c2,又sin Asin(BC).从而SABCbcsin A221.答案B4(2022长沙模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“a2bcos C”是“ABC是等腰三角形”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析依题意,由a2bcos C及正弦定理,得sin A2sin Bcos C,sin(BC)2sin Bcos Csin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos Csin(CB)0,CB,ABC是等腰三角形;反过来,由ABC是等腰三角形不能得知CB,a2bcos C因此,“a2bcos
3、 C”是“ABC是等腰三角形”的充分不必要条件,故选A.答案A5(2022四川卷)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m, 则河流的宽度BC等于()A240(1) m B180(1) mC120(1) m D30(1) m 解析如图,ACD30,ABD75,AD60 m,在RtACD中,CD60(m),在RtABD中,BD60(2)(m),BCCDBD6060(2)120(1)(m)答案C二、填空题6(2022新余模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2c2b2)tan Bac,则角B的值为_解析由余弦定理,得cos B
4、,结合已知等式得cos Btan B,sin B,B或.答案或7(2022广东卷)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知bcos Cccos B2b,则_.解析由已知及余弦定理得bc2b,化简得a2b,则2.答案28设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a1,b2,cos C,则sin B_.解析由余弦定理,得c2a2b22abcos C4,即c2.由cos C得sin C.由正弦定理,得sin B(或者由于c2,所以bc2,即三角形为等腰三角形,所以sin Bsin C)答案三、解答题9(2022湖南卷)如图,在平面四边形ABCD中,AD1,CD2,AC.(1)
5、求cosCAD的值;(2)若cosBAD,sin CBA,求BC的长解(1)在ADC中,由余弦定理,得cosCAD.故由题设知,cosCAD.(2)设BAC,则BADCAD.由于cosCAD,cosBAD,所以sin CAD,sin BAD.于是sin sin(BADCAD)sin BADcosCADcosBADsin CAD.在ABC中,由正弦定理,.故BC3.10(2022安徽卷)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b3,c1,A2B.(1)求a的值;(2)求sin的值解(1)由于A2B,所以sin Asin 2B2sin Bcos B由正、余弦定理得a2b.由于b3,c
6、1,所以a212,a2.(2)由余弦定理得cos A.由于0A,所以sin A.故sinsin Acoscos Asin.力气提升题组(建议用时:25分钟)11(2022东北三省四市联考)在ABC中,角A,B,C的对应边分别为a,b,c,满足1,则角A的范围是()A. B C. D解析由1,得b(ab)c(ac)(ac)(ab),化简得b2c2a2bc,即,即cos A(0A),所以0A,故选A.答案A12(2021咸阳模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足csin Aacos C,则sin Asin B的最大值是()A1 BC. D3解析由csin Aacos C,
7、得sin Csin Asin Acos C,又在ABC中sin A0,所以sin Ccos C,tan C,C(0,),所以C.所以sin Asin Bsin Asinsin Acos Asin,A,所以当A时,sin Asin B取得最大值,故选C.答案C13在ABC中,B60,AC,则AB2BC的最大值为_ .解析由正弦定理知,AB2sin C,BC2sin A.又AC120,AB2BC2sin C4sin(120C)2(sin C2sin 120cos C2cos 120sin C)2(sin Ccos Csin C)2(2sin Ccos C)2sin(C),其中tan ,是第一象限角,由于0C120,且是第一象限角,因此AB2BC有最大值2.答案214ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知abcos CcsinB(1)求B;(2)若b2,求ABC面积的最大值解(1)由已知及正弦定理,得sin Asin Bcos Csin CsinB又A(BC),故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由,和C(0,)得sin Bcos B又B(0,),所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理,得4a2c22accos.又a2c22ac,故ac,当且仅当ac时,等号成立因此ABC面积的最大值为1.