2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：第5章-第3讲-平面向量的数量积.docx

第3讲 平面对量的数量积
一、选择题
1．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)
A．4　　　　　　　　　　　 B．3
C．2 D．0
解析 由a∥b及a⊥c，得b⊥c，
则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
答案 D
2．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为(　　)
A．0 B. C. D.
解析 ∵a·c＝a·
＝a·a－a·b＝a2－a2＝0，
又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝，故选D.
答案　D
3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝ (　　)．
A．4 B．3 C．2 D．0
解析　由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
答案　D
4．已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－，则λ等于 (　　)．
A. B.
C. D.
解析　以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，由＝λ，得P(2λ，0)，由＝(1－λ)，得Q(1－λ，(1－λ))，所以·＝(－λ－1，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－(λ＋1)(2λ－1)－×(1－λ)＝－，解得λ＝.]
答案　A
5．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)．
A.－1 B．1 C. D．2
解析　由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，由于|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，
故|a＋b－c|≤1.
答案　B
6．对任意两个非零的平面对量α和β，定义αβ＝.若平面对量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈，且ab和ba都在集合中，则ab＝ (　　)．
A. B．1 C. D.
解析　由定义αβ＝可得ba＝＝＝，由|a|≥|b|>0，及θ∈得0<<1，从而＝，即|a|＝2|b|cos θ.ab＝＝＝＝2cos2θ，由于θ∈，所以<cos θ<1，所以<cos2θ<1，所以1<2cos2θ<2.结合选项知答案为C.
答案　C
二、填空题
7． 已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|等于________．
解析 ∵|a－3b|2＝a2－6a·b＋9b2＝10－6×cos60°＝7，∴|a－3b|＝.
答案
8. 已知向量, ，若，则的值为 ．
解析
答案
9． 如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
解析　以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系xOy，则＝(，0)，＝(，1)，
设F(t,2)，则＝(t,2)．
∵·＝t＝，∴t＝1，
所以·＝(，1)·(1－，2)＝.
答案　
10．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析　由已知a·c－b·c＝0，a·b＝0，|a|＝1，
又a＋b＋c＝0，∴a·(a＋b＋c)＝0，即a2＋a·c＝0，
则a·c＝b·c＝－1，
由a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
即a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝0，
∴a2＋b2＋c2＝－4c·a＝4，
即|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案　4
三、解答题
11．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．
(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；
(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；
(3)求向量a在b方向上的投影．
解 (1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，
∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．
∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c) a＝0a＝0.
(2) a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，
由于a＋λb与a垂直，
∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.
(3)设向量a与b的夹角为θ，
向量a在b方向上的投影为|a|cos θ.
∴|a|cos θ＝＝＝－＝－.
12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
解　(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则
＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线长分别为4，2.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，
得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
13．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解　由已知得e＝4，e＝1，e1·e2＝2×1×cos 60°＝1.
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.
欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－.
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，
∴∴2t2＝7.∴t＝－，此时λ＝－.
即t＝－时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.
∴当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是
∪.
14． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝，n＝，且满足|m＋n|＝.
(1)求角A的大小；
(2)若||＋||＝||，试推断△ABC的外形．
解　(1)由|m＋n|＝，得m2＋n2＋2m·n＝3，
即1＋1＋2＝3，
∴cos A＝.∵0<A<π，∴A＝.
(2)∵||＋||＝||，∴sin B＋sin C＝sin A，
∴sin B＋sin＝×，
即sin B＋cos B＝，∴sin＝.
∵0<B<，∴<B＋<，
∴B＋＝或，故B＝或.
当B＝时，C＝；当B＝时，C＝.
故△ABC是直角三角形.