2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：第11章-第6讲--离散型随机变量的分布列.docx

第6讲 离散型随机变量的分布列
一、选择题
1．已知随机变量X的分布列如下表：
X
1
2
3
4
5
P

m

则m的值为(　　)
A. B. C. D.
解析 利用概率之和等于1，得m＝＝.
答案 C
2．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X＝2)等于 (　　)．
A. B. C. D.
解析　∵＋＋＝1，∴a＝3，P(X＝2)＝＝.
答案　C
3．若随机变量X的概率分布列为
X
x1
x2
P
p1
p2
且p1＝p2，则p1等于 (　　)．
A. B. C. D.
解析　由p1＋p2＝1且p2＝2p1可解得p1＝.
答案　B
4．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2<X≤4)等于(　　)．
A. B. C. D.
解析　P(2<X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
答案　A
5．从4名男生和2名女生中任选3人参与演讲竞赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于(　　)．
A. B. C. D.
解析　P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－＝.
答案　D
6．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个登记颜色后放回，直到红球毁灭10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于
(　　)．
A．C102 B．C92
C．C92 D．C102
解析　“X＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P(X＝12)＝C92＝C102.
答案　D
二、填空题
7．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝，(i＝1,2,3,4)，则P＝________.
解析　P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝.
答案　
8．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，登记它的颜色，然后放回，再取一球，又登记它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．
解析　η的全部可能值为0,1,2.P(η＝0)＝＝，P(η＝1)＝＝，P(η＝2)＝＝.
答案　
η
0
1
2
P

9. 某篮球队员在竞赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至少命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____________．
解析 由得
答案
10．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，竞赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮竞赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的全部可能取值是________．
解析　X＝－1，甲抢到一题但答错了，或抢到三题只答对一题；X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错；X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对；X＝2时，甲抢到2题均答对；X＝3时，甲抢到3题均答对．
答案　－1,0,1,2,3
三、解答题
11．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从今10张奖券中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列．
解　(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率
P＝＝＝.

(2)依题意可知，X的全部可能取值为0,10,20,50,60(元)，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝，
P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝，
P(X＝60)＝＝.
所以X的分布列为：
X
0
10
20
50
60
P

12. 设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0 ；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.
(1)求概率P(ξ＝0)；
(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．
解　(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝.
(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P(ξ＝)＝＝，
于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，
所以随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1

P

因此E(ξ)＝1×＋×＝.
13．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参与市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为，，.
(1)求该高中获得冠军个数X的分布列；
(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．
解　(1)∵X的可能取值为0,1,2,3，取相应值的概率分别为
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P

(2)∵得分η＝5X＋2(3－X)＝6＋3X，
∵X的可能取值为0,1,2,3.
∴η的可能取值为6,9,12,15，取相应值的概率分别为
P(η＝6)＝P(X＝0)＝，P(η＝9)＝P(X＝1)＝，
P(η＝12)＝P(X＝2)＝，P(η＝15)＝P(X＝3)＝.
∴得分η的分布列为
η
6
9
12
15
P

14. 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参与考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参与以后的考试，否则就始终考到第4次为止．假如李明打算参与驾照考试，设他每次参与考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参与驾照考试次数X的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率．
解　X的取值分别为1,2,3,4.
X＝1，表明李明第一次参与驾照考试就通过了，
故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明在第一次考试未通过，其次次通过了，
故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，
故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，
故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
∴李明实际参与考试次数X的分布列为
X
1
2
3
4
P
0.6
0.28
0.096
0.024
李明在一年内领到驾照的概率为
1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.