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课时提升作业(二十四)
一、选择题
1.线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶,则运动开头几小时后,两车的距离最小( )
(A) (B)1 (C) (D)2
2.某水库大坝的外斜坡的坡度为,则坡角α的正弦值为( )
(A) (B) (C) (D)
3.如图,一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与货轮相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行,30分钟后又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮航行的速度为( )
(A)20(+)海里/小时
(B)20(-)海里/小时
(C)20(+)海里/小时
(D)20(-)海里/小时
4.(2021·广州模拟)据新华社报道,强台风“珍宝”在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到12级以上,大风、降雨给灾区带来严峻的灾难,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成45°的角,树干也倾斜为与地面成75°的角,树干底部与树尖着地处相距20米,则折断点与树干底部的距离
是( )
(A)米 (B)20米
(C)米 (D)10米
5.(2021·揭阳模拟)已知△ABC的一个内角是120°,三边长构成公差为4的等差数列,则三角形的面积是( )
(A)10 (B)30 (C)20 (D)15
6.某爱好小组要测量电视塔AE的高度H(单位:m).如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.该小组已测得一组α,β的值,算出了tanα=1.24,tanβ=1.20,则H=( )
(A)100m
(B)110m
(C)124m
(D)144m
二、填空题
7.若△ABC的面积为3,BC=2,C=60°,则边长AB的长度等于 .
8.(2021·佛山模拟)某校运动会开幕式上进行升旗仪式,旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列正前方,从这一列的第一排和最终一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最终一排的距离为10米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒,升旗手应以 米/秒的速度匀速升旗.
9.如图,在坡度确定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B后,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cosθ= .
三、解答题
10.(2022·山东高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知
sin B(tan A+tan C)=tan Atan C.
(1)求证:a,b,c成等比数列.
(2)若a=1,c=2,求△ABC的面积S.
11.在海岸A处,发觉北偏东45°方向、距离A处(-1)海里的B处有一艘走私船;在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船.同时,走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃跑,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?最少要花多少时间?
12.(力气挑战题)在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海疆被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ(其中sinθ=,0°<θ<90°)且与点A相距10海里的位置C.
(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时).
(2)若该船不转变航行方向连续行驶,推断它是否会进入警戒水域,并说明理由.
答案解析
1.【解析】选C.如图所示,设过xh后两车距离为ykm,则BD=200-80x,BE=50x,
∴y2=(200-80x)2+(50x)2
-2×(200-80x)·50x·cos 60°,
整理得y2=12900x2-42000x+40000(0≤x≤2.5),
∴当x=时y2最小,即y最小.
2.【思路点拨】坡角的正切值是坡度,故利用此关系可解.
【解析】选B.由tanα=,得sinα=cosα,代入sin2α+cos2α=1,得sinα=.
3.【解析】选B.由题意知SM=20,∠SNM=105°,∠NMS=45°,∴∠MSN=30°.
在△MNS中利用正弦定理可得,=,
∴MN==10(-)(海里),
∴货轮航行的速度v=
=20(-)(海里/小时).
4.【解析】选A.如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则∠ABO=45°,∠AOB=75°,
∴∠OAB=60°.
由正弦定理知,=,
∴AO=米.
5.【解析】选D.由△ABC三边长构成公差为4的等差数列,设△ABC的三边长分别为a,a+4,a+8,
由于△ABC的一个内角是120°,
所以(a+8)2=a2+(a+4)2-2a(a+4)cos120°,
化简得a2-2a-24=0,解得a=-4(舍)或a=6.
因此△ABC的面积S=×6×10×sin120°=15.
【变式备选】在△ABC中三条边a,b,c成等比数列,且b=,B=,则△ABC的面积为( )
(A) (B) (C) (D)
【解析】选C.由已知可得b2=ac,又b=,则ac=3,
又B=,∴S△ABC=acsinB=×3×=.
6.【思路点拨】用H,h表示AD,AB,BD后利用AD=AB+BD即可求解.
【解析】选C.由AB=,BD=,
AD=及AB+BD=AD,得+=,
解得H===124(m).
【方法技巧】测量高度的常见思路
解决高度的问题主要是依据条件确定出所利用的三角形,精确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相对应;分清已知和待求的关系,正确地选择定理和公式,特殊留意高度垂直地面构成的直角三角形.
7.【解析】由△ABC面积为3,得absin 60°=3,
得ab=4,又BC=a=2,故b=2,
∴c2=a2+b2-2abcosC
=4+12-2×2×2×=16-4,
∴c=2.
答案:2
8.【解析】在△BCD中,∠BDC=45°,∠CBD=30°,CD=10,由正弦定理,得BC==20.
在Rt△ABC中,AB=BCsin60°=20×=
30(米),所以升旗速度v===0.6(米/秒).
答案:0.6
9.【解析】在△ABC中,
BC===50(-).
在△BCD中,sin∠BDC=
==-1.
又∵cosθ=sin∠BDC,∴cosθ=-1.
答案:-1
10.【思路点拨】(1)先利用切化弦,将已知式子化简,再利用和角公式,三角形内角和定理,正弦定理化成b2=ac.(2)利用(1)的结论和余弦定理及三角形面积公式求解.
【解析】(1)由已知得:
sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C,
sin Bsin(A+C)=sin Asin C,
sin2B=sin Asin C.
由正弦定理可得:b2=ac,
所以a,b,c成等比数列.
(2)若a=1,c=2,则b2=ac=2,
∴cos B==,
sin B==,
∴△ABC的面积S=acsin B=×1×2×=.
11.【解析】如图,设缉私船t小时后在D处追上走私船,
则有CD=10t,BD=10t.
在△ABC中,AB=-1,AC=2,∠BAC=120°.
利用余弦定理可得BC=.
由正弦定理,得
sin∠ABC=sin∠BAC=×=,
得∠ABC=45°,即BC与正北方向垂直.
于是∠CBD=120°.
在△BCD中,由正弦定理,得
sin∠BCD===,
得∠BCD=30°,∴∠BDC=30°.
又=,
=,得t=.
所以缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船,最少要花小时.
12.【解析】(1)如图,AB=40,AC=10,∠BAC=θ,sinθ=.
由于0°<θ<90°,所以cosθ==.
由余弦定理得BC=
=10.
所以船的行驶速度为=15(海里/小时).
(2)方法一:如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系,设点B,C的坐标分别是B(x1,y1),C(x2,y2),
BC与x轴的交点为D.
由题设有,x1=y1=AB=40,
x2=ACcos∠CAD=10cos(45°-θ)=30,
y2=ACsin∠CAD=10sin(45°-θ)=20.
所以过点B,C的直线l的斜率k==2,直线l的方程为y=2x-40.
又点E(0,-55)到直线l的距离d=
=3<7.
所以船会进入警戒水域.
方法二:如图所示,设直线AE与BC的延长线相交于Q.
在△ABC中,由余弦定理得,
cos∠ABC=
=
=.
从而sin∠ABC===.
在△ABQ中,由正弦定理得,
AQ===40.
由于AE=55>40=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.
过点E作EP⊥BC于点P,则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt△QPE中,PE=QE·sin∠PQE
=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC)
=15×=3<7.
所以船会进入警戒水域.
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