2022届高考数学理科一轮复习课时作业-2-12变化率与导数的概念、导数的运算-.docx

第十二节　变化率与导数的概念、导数的运算

题号
1
2
3
4
5
6
答案

1．设f(x)为可导函数，且满足lim ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为(　　)
A．2 B．－1
C．1 D．－2
解析：lim ＝lim ＝－1，即y′|x＝1＝－1，
则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1.故选B.
答案：B
2．(2021·淄博模拟)已知函数f(x)＝ax2＋3x－2在点(2，f(2))处的切线斜率为7，则实数a的值为(　　)
A．－1 B．1
C．±1 D．－2
解析：f′(x)＝2ax＋3，依题意f′(2)＝7，即4a＋3＝7，得a＝1，故选B.
答案：B
3．已知物体的运动方程是s＝t3－6t2＋32t(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是(　　)
A．2秒或4秒
B．2秒或16秒
C．8秒或16秒
D．4秒或8秒
解析：瞬时速度v＝s′＝t2－12t＋32，令v＝0可得t＝4或t＝8.故选D.
答案：D
4．(2021·日照重点中学诊断)若曲线f(x)＝、g(x)＝xa在点P(1，1)处的切线分别为l1、l2，且l1⊥l2，则a的值为(　　)
A．－2 B．2
C. D．－
解析：由题意可知，f′(x)＝，g′(x)＝axa－1，
∵l1、l2过点P(1，1)，∴kl1＝f′(1)＝，kl2＝g′(1)＝a.
又∵l1⊥l2，∴kl1·kl2＝a＝－1，∴a＝－2.故选A.
答案：A
5．已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R)，若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，则a－b的值是(　　)
A．2－2ln 2 B．2＋2ln 2
C．－2－ln 2 D．－2＋ln 2
解析：由于f′(x)＝x－(x＞0)，又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，
所以解得a＝2，b＝－2ln 2.
所以a－b＝2＋2ln 2.故选B.
答案：B
6.若曲线y＝x2在点(a，a2)(a>0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2，则a等于(　　)
A．2 B．4
C. D.
解析：∵点(a，a2)在曲线y＝x2上，y′＝2x，
∴切线的斜率为k＝y′|x＝a＝2a，切线方程为y－a2＝2a(x－a)．令x＝0，得y1＝－a2，令y＝0，得x1＝，由面积关系得|x1||y1|＝2，即＝2，解得a＝2.故选A.
答案：A
7．(2021·江西卷)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________．
解析：设ex＝t，则x＝ln t(t>0)，∴f(t)＝ln t＋t
∴f′(t)＝＋1，∴f′(1)＝2.
答案：2
8．在平面直角坐标系中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在其次象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为____________．
解析：由y′＝3x2－10＝2⇒x＝±2，又点P在其次象限内，
∴x＝－2，
∴点P的坐标为(－2，15)．
答案：(－2，15)
9．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
解析：由题意得f′(x)＝－f′sin x＋cos x⇒
f′＝－f′sin＋cos，
∴f′＝＝－1.
∴f(x)＝cos x＋sin x.
∴f＝cos＋sin＝1.
答案：1
10．已知曲线y＝x3＋x－2在 点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
解析：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又∵点P0在第三象限，
∴切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)∵直线l⊥l1, l1的斜率为4，
∴直线l的斜率为－.
∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)．
∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
11．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解析：(1)解析：方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝；又f′＝a＋，于是解得故f＝x－.
(2)证明：设P为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P处的切线方程为y－y0 ＝ ，即y－ ＝ ，
令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为.
所以点P处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为＝6.
故曲线y＝f上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.