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其次章 章末检测（A）
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，假如EF，GH交于一点P，则( )
A．P确定在直线BD上
B．P确定在直线AC上
C．P确定在直线AC或BD上
D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上
2．下列推理错误的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A∈l，l⊂α⇒A∈α
3．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同始终线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是( )
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．②和④
4．在空间中，下列说法中不正确的是( )
A．两组对边相等的四边形是平行四边形
B．两组对边平行的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．对角线相互平分的四边形是平行四边形
5．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m⊥α，n⊥α，则n⊥m
C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
D．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
8．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四周体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四周体S－EFG中必有( )
A．SG⊥△EFG所在平面
B．SD⊥△EFG所在平面
C．GF⊥△SEF所在平面
D．GD⊥△SEF所在平面
9．如图所示，将无盖正方体纸盒开放，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是( )
A．平行
B．相交且垂直
C．异面直线
D．相交成60°角
10．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四周体ABCD的外接球的体积为( )
A．π B．π C．π D．π
11．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1D1
12．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________．
14．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．
15．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种状况即可，不必考虑全部可能的状况)．
16．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内全部的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)
如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，推断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？
18．(12分) 如图，在四周体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．
求证：(1)EF∥面ACD；
(2)面EFC⊥面BCD．
19．(12分) 如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F．
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．
20．(12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：PA∥面BDE；平面PAC⊥平面BDE；
(2)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．
21．(12分)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上．
(1)求证：BC′⊥平面AC′D；
(2)求点A到平面BC′D的距离．
22．(12分) 如图，在五面体ABC－DEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2，∠BAD＝∠CDA＝45°．
(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
(2)证明CD⊥平面ABF；
(3)求二面角B－EF－A的正切值．
其次章 点、直线、平面之间的位置关系(A) 答案
1．B [(如图)，∵P∈HG，HG⊂面ACD，
∴P∈面ACD，同理P∈面BAC，
面BAC∩面ACD＝AC；
∴P∈AC，选B．]
2．C [若直线l∩α＝A，明显有l⊄α，A∈l，但A∈α．]
3．D [当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．]
4．A
5．D [由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°．]
6．B
7．C [A中还有可能n⊂α；B中n∥m；D中还有可能m∥β或m⊂β或相交不垂直；C中，由于m∥β，设过m的平面γ与β交于b，则m∥b，又m⊥α，则b⊥α，又b⊂β，则α⊥β，所以C正确．]
8．A [∵四边形SG1G2G3是正方形，
∴SG1⊥G1E，EG1⊥G2F，FG3⊥SG3．
当正方形折成四周体之后，上述三个垂直关系仍保持不变，
EG，GF成为四周体的面EGF的相邻两条边，
因此，在四周体S－EFG中侧棱SG⊥GE，SG⊥GF，
∴SG⊥平面EFG．]
9．D [恢复成正方体(如图)，
易知△ABC为等边三角形，
所以∠ABC＝60°．选D．]
10．C [球心O为AC中点，半径为R＝AC＝，
V＝πR3＝π．选C．]
11．B [证BD⊥面CC1E，则BD⊥CE．]
12．A [连接B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，
则B′C＝AC＝a，B′D＝DC＝a，
所以∠B′DC＝90°．]
13．9
解析 由面面平行的性质得AC∥BD，＝，
解得SD＝9．
14．a>6
解析 (如图)
由题意知：PA⊥DE，
又PE⊥DE，
所以DE⊥面PAE，∴DE⊥AE．
易证△ABE∽△ECD．
设BE＝x，则＝，即＝．
∴x2－ax＋9＝0，由Δ>0，解得a>6．
15．B1D1⊥A1C1(答案不唯一)
解析 由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，
只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1，
还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形，正方形等条件．
16．④
解析 ①中b可能在α内；②a与b可能异面；③a可能与α内的直线异面．
17．解 直线MN∥平面A1BC1，
证明如下：
∵MD/∈平面A1BC1，ND/∈平面A1BC1．
∴MN⊄平面A1BC1．
如图，取A1C1的中点O1，连接NO1、BO1．
∵NO1綊D1C1，
MB綊D1C1，∴NO1綊MB．
∴四边形NO1BM为平行四边形．∴MN∥BO1．
又∵BO1⊂平面A1BC1，
∴MN∥平面A1BC1．
18．证明 (1)∵E，F分别是AB，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，
∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴EF∥面ACD．
(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD．
∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．
又EF∩CF＝F，∴BD⊥面EFC．∵BD⊂面BCD，
∴面EFC⊥面BCD．
19．证明 (1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，
∴SA⊥BC，
∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC．
∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE．
又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC．
∴AE⊥SC．又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF．
∴AF⊥SC．
(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC．
又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD．
∴DC⊥AG．
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂面AEF，
∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD．
20．(1)证明
连接OE，如图所示．
∵O、E分别为AC、PC中点，
∴OE∥PA．
∵OE⊂面BDE，PA⊄面BDE，
∴PA∥面BDE．
∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD．
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又∵PO∩AC＝0，∴BD⊥面PAC．
又∵BD⊂面BDE，∴面PAC⊥面BDE．
(2)解 取OC中点F，连接EF．
∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO．
又∵PO⊥面ABCD，
∴EF⊥面ABCD
∵OF⊥BD，∴OE⊥BD．
∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，
∴∠EOF＝30°．
在Rt△OEF中，
OF＝OC＝AC＝a，
∴EF＝OF·tan 30°＝a，∴OP＝2EF＝a．
∴VP－ABCD＝×a2×a＝a3．
21．(1)证明 ∵点C′在平面ABD上的射影O在AB上，
∴C′O⊥平面ABD，∴C′O⊥DA．
又∵DA⊥AB，AB∩C′O＝O，
∴DA⊥平面ABC′，∴DA⊥BC′．
又∵BC⊥CD，∴BC′⊥C′D．
∵DA∩C′D＝D，∴BC′⊥平面AC′D．
(2)解
如图所示，
过A作AE⊥C′D，垂足为E，连接BE．
∵BC′⊥平面AC′D，∴BC′⊥AE．
∴AE⊥平面BC′D．
故AE的长就是A点到平面BC′D的距离．
∵AD⊥AB，DA⊥BC′，
∴AD⊥平面ABC′，∴DA⊥AC′．
在Rt△AC′B中，AC′＝＝3．
在Rt△BC′D中，C′D＝CD＝3．
在Rt△C′AD中，由面积关系，得
AE＝＝＝．
∴点A到平面BC′D的距离是．
22．(1)解 由于四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED．
所以∠CED为异面直线CE与AF所成的角．
由于FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD．故ED⊥CD．
在Rt△CDE中，CD＝1，ED＝2，
CE＝＝3，
所以cos ∠CED＝＝．
所以异面直线CE与AF所成角的余弦值为．
(2)证明 如图，过点B作BG∥CD，交AD于点G，则∠BGA＝∠CDA＝45°．
由∠BAD＝45°，可得BG⊥AB，从而CD⊥AB．
又CD⊥FA，FA∩AB＝A，所以CD⊥平面ABF．
(3)解 由(2)及已知，可得AG＝，即G为AD的中点．
取EF的中点N，连接GN，则GN⊥EF．
由于BC∥AD，所以BC∥EF．
过点N作NM⊥EF，交BC于点M，
则∠GNM为二面角B－EF－A的平面角．
连接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM，
从而BC⊥GM．
由已知，可得GM＝．
由NG∥FA，FA⊥GM，得NG⊥GM．
在Rt△NGM中，tan ∠GNM＝＝．
所以二面角B－EF－A的正切值为．
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