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课时提升作业(十七)
三角函数的图象与性质
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.函数y=-4sin x+1,x∈[-π,π]的单调性是( )
A.在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数
B.在上是增函数,在[-π,-]和[,π]上都是减函数
C.在[0,π]上是增函数,在[-π,0]上是减函数
D.在[,π]和[-π,-]上是增函数,在[-,]上是减函数
【解析】选D.由正弦函数的图象知,函数y=4sin x,x∈[-π,π]时,在[-,]上是增函数,在[-π,-]和[,π]上是减函数.所以函数y=-4sin x+1在[-,]上是减函数,在[-π,-]和[,π]上是增函数,故选D.
2.(2021·济南模拟)下列函数中周期为π且为偶函数的是 ( )
A.y=sin2x-π2 B.y=cos2x-π2
C.y=sinx+π2 D.y=cosx+π2
【解析】选A.y=sin2x-π2=-cos2x为偶函数,且周期是π,所以选A.
3.(2021·蚌埠模拟)函数y=sin2x+π3图象的对称轴方程可能是( )
A.x=-π6 B.x=-π12
C.x=π6 D.x=π12
【解析】选D.由2x+π3=kπ+π2(k∈Z),得x=k2π+π12(k∈Z),当k=0时,x=π12.
4.已知函数f(x)=cos x在区间[a,b]上是减函数,且f(a)+f(b)=0,则a+b的值可能是( )
A.0 B.π C.2π D.3π
【解题提示】结合余弦函数f(x)=cos x的图象解答.
【解析】选B.由于f(a)+f(b)=0,
所以f(a)=-f(b).
由余弦函数f(x)=cos x的图象知
区间[a,b]的中点是+2kπ,(k∈Z),
所以a+b=2(+2kπ)=π+4kπ(k∈Z),
故a+b的可能值是π.
5.(2021·大连模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,-π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π,且当x=时,f(x)取得最大值,则( )
A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数
B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数
C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数
D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数
【解题提示】先由题中条件确定ω与φ的值,再验证各选项即可.
【解析】选A.由于f(x)的最小正周期为6π,所以ω=,
由于当x=时,f(x)有最大值,
所以×+φ=+2kπ(k∈Z),
φ=+2kπ(k∈Z),
由于-π<φ≤π,所以φ=.
所以f(x)=2sin(+),由此函数验证易得,在区间[-2π,0]上是增函数,而在区间[-3π,-π]或[3π,5π]上均没单调性,在区间[4π,6π]上是增函数.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.函数y=的定义域是 .
【解析】由tan x-1≥0,得tan≥1.
所以kπ+≤x<kπ+ (k∈Z).
答案:[kπ+,kπ+)(k∈Z)
7.cos 23°,sin 68°,cos 97°从小到大的挨次是 .
【解析】sin 68°=sin(90°-22°)=cos 22°.
由于余弦函数y=cos x在[0,π]上是单调递减的.
且22°<23°<97°,
所以cos 97°<cos 23°<cos 22°.
答案:cos 97°<cos 23°<sin 68°
8.(2021·天津模拟)函数f(x)=-sin(2x-),x∈[0, ]的最大值是 .
【解题提示】先由x的取值范围确定2x-的范围,再依据正弦曲线求解.
【解析】由于x∈[0, ],
所以-≤2x-≤.
依据正弦曲线,得当2x-=-时.
sin(2x-)取得最小值为-.
故f (x)=-sin(2x-)的最大值为.
答案:
【误区警示】解答本题易忽视函数表达式前面的负号而误填1.
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.若x∈[0,π],且满足cos x≤0,
求函数f(x)=的最大、最小值.
【解题提示】先求x的取值范围,然后换元求解.
【解析】由x∈[0,π],且满足cos x≤0,得
x∈[,π].
f(x)=
令t=sin x,则t∈[0,1],
y=
所以ymax=,ymin=2.
10.已知函数f(x)=2sin(2ωx+)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值.
(2)争辩f(x)在区间[0, ]上的单调性.
【解析】(1)由于f(x)=2sin(2ωx+)的最小正周期为π,且ω>0.
从而有=π,故ω=1.
(2)由于f(x)=2sin(2x+).
若0≤x≤,则≤2x+≤.
当≤2x+≤,即0≤x≤时,
f(x)单调递增;
当<2x+≤,即<x≤时,f(x)单调递减.
综上可知,f(x)在区间[0, ]上单调递增,在区间(,]上单调递减.
(20分钟 40分)
1.(5分)(2021·济南模拟)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=π2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.当f(x)为奇函数时,有f(-x)=-f(x),得Acos(-ωx+φ)=
-Acos(ωx+φ),
由诱导公式得-Acos(ωx+φ)=Acos[π-(ωx+φ)]=Acos(π-ωx-φ),
因此Acos(-ωx+φ)=Acos(π-ωx-φ),
所以-ωx+φ=π-ωx-φ+2kπ,或π-ωx-φ=ωx-φ+2kπ,k∈Z,得不到φ=π2;当φ=π2时,f(x)=Acosωx+π2=-Asinωx为奇函数,因此“f(x)是奇函数”是“φ=π2”的必要不充分条件.
2.(5分)(2021·邯郸模拟)已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间上的最小值是-2,则ω的最小值为( )
A. B. C.2 D.3
【解题提示】结合正弦函数的图象解答.
【解析】选B.由于ω>0,所以-ω≤ωx≤ω,
由题意,结合正弦曲线易知,- ω≤-,即ω≥.
故ω的最小值是.
3.(5分)(2021·浦东模拟)若Sn=sin +sin+…+sin (n∈N*),则在S1,S2,…,S100中,正数的个数是( )
A.16 B.72 C.86 D.100
【解析】选C.由于函数f(x)=sin的最小正周期为
T=14,又sin>0,sinπ>0,…,sinπ>0,sinπ=0,sinπ<0,…,sinπ<0,sinπ=0,
所以在S1,S2,S3,…,S13,S14中,只有S13=S14=0,其余均大于0.
由周期性可知,在S1,S2,…,S100中共有14个0,其余都大于0,即共有86个正数.
【加固训练】若f(x)=sin(x+),x∈[0,2π],关于x的方程f(x)=m有两个不相等实数根x1,x2,则x1+x2等于( )
A. 或 B.
C. D.不确定
【解析】选A.对称轴x=+kπ∈[0,2π],
得对称轴x=或x=,
所以x1+x2=2×=或x1+x2=2×=,
故选A.
4.(12分)已知函数f(x)=2asin(2x-)+b的定义域为[0, ],函数的最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.
【解题提示】先求出2x-的范围,再分a>0,a<0两类状况争辩,列出a,b的方程组,可求解.
【解析】易知a≠0.
由于0≤x≤,所以-≤2x-≤π.
所以-≤sin(2x-)≤1.
若a>0,则解得
若a<0,则解得
综上可知,a=12-6,b=-23+12或a=-12+6,b=19-12.
5.(13分)(力气挑战题)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M(π,0)对称.
(1)求φ,ω的值.
(2)求f(x)的单调递增区间.
(3)x∈,求f(x)的最大值与最小值.
【解析】(1)由于f(x)=sin(ωx+φ)是R上的偶函数,
所以φ= +kπ,k∈Z,且0≤φ≤π,则φ=,
即f(x)=cosωx.由于图象关于点M(π,0)对称,
所以ω×π=+kπ,k∈Z,且0<ω<1,所以ω=.
(2)由(1)得f(x)=cosx,由-π+2kπ≤x≤2kπ且k∈Z得,3kπ-≤x≤
3kπ,k∈Z,
所以函数的递增区间是[3kπ-,3kπ],k∈Z.
(3)由于x∈[-,],所以x∈[-,],
当x=0时,即x=0,函数f(x)的最大值为1,
当x=-时,即x=-,函数f(x)的最小值为0.
【加固训练】设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.
(1)求φ.
(2)求函数y=f(x)的单调增区间.
【解析】(1)令2×+φ=kπ+,k∈Z,
所以φ=kπ+,又-π<φ<0,则-<k<-,
所以k=-1,则φ=-.
(2)由(1)得:f(x)=sin(2x-),
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
可解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
因此y=f(x)的单调增区间为[+kπ, +kπ],
k∈Z.
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