2021高考数学(文理通用)一轮课时作业2-命题及其关系、充分条件与必要条件.docx

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课时提升作业(二)
命题及其关系、充分条件与必要条件
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2021·安徽高考)“(2x-1)x=0”是“x=0”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【思路点拨】解出一元二次方程的解,依据充分必要条件的概念判定.
【解析】选B.由(2x-1)x=0⇒x=0或x=12,
所以应选B.
2.命题“若a>b,则a3>b3”的逆否命题是(　　)
A.若a≥b,则a3≥b3
B.若a>b,则a3≤b3
C.若a≤b,则a3≤b3
D.若a3≤b3,则a≤b
【解析】选D.由逆否命题的含义知,D正确.
3.已知下列命题:
①已知集合A,B,若a∈A,则a∈(A∩B);
②若A∪B=B,则A⊆B;
③若a>|b|,则a2>b2;
④3≥2.
其中是真命题的个数是(　　)
A.1　　　 　B.2　　　 　C.3　　　　 D.4
【解析】选C.①是假命题,由于a∈Aa∈(A∩B);②是真命题,由于A∪B=B⇔A⊆B;③是真命题,由于a>|b|≥0,所以a2>b2成立;④是真命题,由于“3≥2”的意思是3>2或3=2,只要有一个成立就行,故选C.
4.(2021·浙江高考)若α∈R,则“α=0”是“sinα<cosα”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【思路点拨】让“α=0”和“sinα<cosα”其中一个作条件,另一个作结论,推断命题是否正确.
【解析】选A.当α=0时,sinα=0,cosα=1,所以sinα<cosα;若sinα<cosα,则α∈2kπ,π4+2kπ∪5π4+2kπ,2π+2kπ(k∈Z).
5.(2022·湖州模拟)设M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N⊆M”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】选A.若“N⊆M”,则有a2=1或a2=2,解得a=±1或a=±2,所以“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件,选A.
【加固训练】设x∈R,则“x2-3x>0”是“x>4”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由x2-3x>0得x>3或x<0,所以x2-3x>0是x>4的必要而不充分条件,故选B.
6.(2022·嘉兴模拟)已知向量a=(1,2),b=(-2,1),则“λ=2022”是“λa⊥b”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由于a=(1,2),b=(-2,1),
所以a·b=1×(-2)+2×1=0,
即2022a·b=0,所以λa⊥b成立.
反之,由λa⊥b,
得λa·b=λ(a·b)=λ[1×(-2)+2×1]=0,
此时λ不愿定等于2022.故选A.
7.若m>0且m≠1,n>0,则“logmn<0”是“(m-1)(n-1)<0”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.由logmn<0知,
当m>1时,0<n<1,此时(m-1)(n-1)<0成立,
当0<m<1时,n>1,此时(m-1)(n-1)<0成立,
所以logmn<0是(m-1)(n-1)<0的充分条件;
反之,由于m>0且m≠1,n>0,
所以当(m-1)(n-1)<0时,
m>1,0<n<1或0<m<1,n>1,此时总有logmn<0,
所以,logmn<0是(m-1)(n-1)<0的必要条件.
综上,选C.
【加固训练】(2022·烟台模拟)设p:f(x)=lnx+2x2+mx+1在(0,+∞)内单调递增,q:m≥-5,则p是q的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.f'(x)=1x+4x+m,由f'(x)=1x+4x+m≥0,得m≥-1x+4x.
由于1x+4x≥21x·4x
=4当1x=4x时等号成立,
所以-1x+4x≤-4,
所以m≥-4,即p:m≥-4,
所以p⇒q,但qp,所以p是q的充分不必要条件,选A.
8.(力气挑战题)已知a,b,c是实数,则b2≠ac是a,b,c不成等比数列的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【思路点拨】从正、反两个方面推理时,可用与其等价的逆否命题的真假进行推断.
【解析】选A.由于命题“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”的逆否命题为“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”,是真命题,所以b2≠ac是a,b,c不成等比数列的充分条件;由于“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”是假命题,所以“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”是假命题,即b2≠ac不是a,b,c不成等比数列的必要条件.故选A.
【误区警示】本题在从正、反两方面进行推理时,由于条件和结论都是否定形式,若想不到用其逆否命题推断真假,易误选C.
【方法技巧】条件和结论都是否定形式的命题真假的推断方法
条件和结论都是否定形式的命题,其真假从正面很难精确推断,故可以转化成推断与其等价的逆否命题的真假.
【加固训练】已知x,y是实数,则x≠y是x2≠y2的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.若x≠y,则x2≠y2⇔若x2=y2,则x=y,明显是假的;若x2≠y2,则x≠y⇔若x=y,则x2=y2,明显是真的.故x≠y是x2≠y2的必要不充分条件.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2022·宁波模拟)命题p:a∈M={x|x2-x<0};命题q:a∈N={x||x|<2},p是q的
　　　　条件(从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选择).
【解析】由于M={x|x2-x<0}=(0,1),
N={x||x|<2}=(-2,2),
所以MN,故p是q的充分不必要条件.
答案:充分不必要
10.(2022·合肥模拟)有下列几个命题:
①“若a>b,则a2>b2”的否命题;
②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
③“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题.
其中真命题的序号是　　　　　　.
【解析】①原命题的否命题为“若a≤b,则a2≤b2”,假命题.
②原命题的逆命题为:“若x,y互为相反数,则x+y=0”,真命题.
③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤-2,则x2≥4”,真命题.
答案:②③
11.设命题p:2x-1x-1<0,命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是　　　　　　.
【解析】2x-1x-1<0⇒(2x-1)(x-1)<0⇒12<x<1,
x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0⇒a≤x≤a+1.
由题意,得12,1[a,a+1].
故a≤12,a+1≥1,解得0≤a≤12.
答案:0,12
12.(力气挑战题)下面有四个关于充要条件的命题:
①若x∈A,则x∈B是A⊆B的充要条件;
②函数y=x2+bx+c为偶函数的充要条件是b=0;
③x=1是x2-2x+1=0的充要条件;
④若a∈R,则a>1是1a<1的充要条件.
其中真命题的序号是　　　　　　.
【解析】由子集的定义知,命题①为真.当b=0时,y=x2+bx+c=x2+c明显为偶函数,反之,y=x2+bx+c是偶函数,则(-x)2+b(-x)+c=x2+bx+c恒成立,就有bx=0恒成立,得b=0,因此②为真.当x=1时,x2-2x+1=0成立,反之,当x2-2x+1=0时,x=1,所以③为真.对于④,由于1a<1⇔a-1a>0,即a>1或a<0,故a>1是1a<1的充分不必要条件,所以④为假.
答案:①②③
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.(2022·金华模拟)已知命题p:x∈A,且A={x|a-1<x<a+1},命题q:x∈B,且B={x|x2-4x+3≥0}.
(1)若A∩B=∅,A∪B=R,求实数a的值.
(2)若p是q的充分条件,求实数a的取值范围.
【解析】(1)B={x|x≤1或x≥3},由题意A∩B=∅,A∪B=R得,a-1=1且a+1=3,所以a=2.
(2)由题意p是q的充分条件得AB,所以得a+1≤1或a-1≥3,a≤0或a≥4.
14.已知集合A=yy=x2-32x+1,x∈34,2,B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.
【解析】y=x2-32x+1=x-342+716,
由于x∈34,2,所以716≤y≤2,
所以A=y716≤y≤2.
由x+m2≥1,得x≥1-m2,
所以B={x|x≥1-m2}.
由于“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A⊆B,
所以1-m2≤716,解得m≥34或m≤-34,
故实数m的取值范围是-∞,-34∪34,+∞.
【加固训练】求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
【证明】必要性:
若方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
则x=1满足方程ax2+bx+c=0,
所以a+b+c=0.
充分性:
若a+b+c=0,则b=-a-c,
所以ax2+bx+c=0可化为ax2-(a+c)x+c=0,
所以(ax-c)(x-1)=0,
所以当x=1时,ax2+bx+c=0,
所以x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根.
15.(力气挑战题)已知两个关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0和x2-4mx+4m2-4m-5=0,求两方程的根都是整数的充要条件.
【解析】由于mx2-4x+4=0是一元二次方程,所以m≠0.
又另一方程为x2-4mx+4m2-4m-5=0,且两方程都要有实根,
所以Δ1=16(1-m)≥0,Δ2=16m2-4(4m2-4m-5)≥0,
解得m∈-54,1.
由于两方程的根都是整数,故其根的和与积也为整数,所以4m∈Z,4m∈Z,4m2-4m-5∈Z.
所以m为4的约数.
又由于m∈-54,1,
所以m=-1或1.
当m=-1时,第一个方程x2+4x-4=0的根为非整数;
而当m=1时,两方程的根均为整数,
所以两方程的根都是整数的充要条件是m=1.
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