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第4讲 数列求和
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项的和为 ( )
A．120 B．70 C．75 D．100
解析 由于＝n＋2，所以的前10项和为10×3＋＝75.
答案 C
2．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于 ( )
A．0 B．100
C．－100 D．10 200
解析 由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100
＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012
＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)
＝－(1＋2…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)
＝－50×101＋50×103＝100.故选B.
答案 B
3．数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10的值为 ( )
A．31 B．120
C．130 D．185
解析 a1＋…＋ak＋…＋a10＝240－(2＋…＋2k＋…＋20)＝240－＝240－110＝130.
答案 C
4．(2021·西安质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 016＝( )
A．22 016－1 B．3·21 008－3
C．3·21 008－1 D．3·21 007－2
解析 a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2.
∴＝2.∴a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…成等比数列，
∴S2 016＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 015＋a2 016
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 016)
＝＋＝3·21 008－3.故选B.
答案 B
5．已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，那么数列{bn}的前n项和Sn为 ( )
A. B. C. D.
解析 an＝＝，
∴bn＝＝＝4，
∴Sn＝4
＝4＝.
答案 B
二、填空题
6．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是________．
解析 由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，
∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18
＝S10－(S18－S10)＝60.
答案 60
7．(2021·青岛测试)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2 013＝________．
解析 由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得a1＝1，
a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，该数列是周期为4的数列，
所以S2 013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 013＝503×(－2)＋1＝－1 005.
答案 －1 005
8．(2022·武汉模拟)等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，
则a＋a＋…＋a＝________．
解析 当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，
又∵a1＝1适合上式．
∴an＝2n－1，∴a＝4n－1.
∴数列{a}是以a＝1为首项，以4为公比的等比数列．
∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
答案 (4n－1)
三、解答题
9．(2021·滨州一模)已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log(1－Sn＋1)(n∈N*)，令Tn＝＋＋…＋，求Tn.
解 (1)当n＝1时，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝，
当n≥2时，Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1，
则Sn－Sn－1＝(an－1－an)，即an＝(an－1－an)，
所以an＝an－1(n≥2)．
故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列．
故an＝·＝2·(n∈N*)．
(2)由于1－Sn＝an＝.
所以bn＝log(1－Sn＋1)＝log＝n＋1，
由于＝＝－，
所以Tn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝－＝.
10．(2021·山东卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋＝λ(λ为常数)，令cn＝b2n，(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Rn.
解 (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得
解得a1＝1，d＝2.
因此an＝2n－1，n∈N*.
(2)由题意知Tn＝λ－，
所以n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－＋＝.
故cn＝b2n＝＝(n－1)，n∈N*，
所以Rn＝0×＋1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×，
则Rn＝0×＋1×＋2×＋…＋(n－2)×＋(n－1)×，
两式相减得
Rn＝＋＋＋…＋－(n－1)×＝－(n－1)×＝－，
整理得Rn＝.
所以数列{cn}的前n项和Rn＝.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
11．(2021·西安模拟)数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝ ( )
A. B．6 C．10 D．11
解析 依题意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝，则an＋2＝an，即数列{an}中的奇数项、偶数项分别相等，则a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×＋1＝6，故选B.
答案 B
12．(2021·烟台模拟)已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝ ( )
A．－100 B．0
C．100 D．10 200
解析 若n为偶数，则an＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)，为首项为a2＝－5，公差为－4的等差数列；若n为奇数，则an＝f(n)＋f(n＋1)＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，为首项为a1＝3，公差为4的等差数列．
所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝50×3＋×4＋50×(－5)－×4＝－100.
答案 A
13．设f(x)＝，利用倒序相加法，可求得f ＋f ＋…＋f 的值为________．
解析 当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝＋
＝＝1.
设S＝f ＋f ＋…＋f ，倒序相加有
2S＝＋＋…＋＝10，即S＝5.
答案 5
14．在等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表中的同一列.
第一列
其次列
第三列
第一行
3
2
10
其次行
6
4
14
第三行
9
8
18
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 (1)当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；
当a1＝10时，不合题意．
因此a1＝2，a2＝6，a3＝18，所以公比q＝3，故an＝2·3n－1.
(2)由于bn＝an＋(－1)nln an
＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)
＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3]
＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3，
所以当n为偶数时，
Sn＝2×＋ln 3＝3n＋ln 3－1；
当n为奇数时，
Sn＝2×－(ln 2－ln 3)＋ln 3
＝3n－ln 3－ln 2－1.
综上所述，Sn＝
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