2021高考数学(文理通用)一轮课时作业43-曲线与方程.docx

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课时提升作业(四十三)
曲线与方程
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知两定点F1(-1,0),F2(1,0)且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程是(　　)
A.x216+y29=1 B.x216+y212=1
C.x24+y23=1 D.x23+y24=1
【解析】选C.由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知|PF1|+|PF2|=4,故动点P的轨迹是以定点F1(-1,0),F2(1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆,故其方程为x24+y23=1.
2.已知动点P在曲线2x2-y=0上移动,则点A(0,-1)与点P连线中点的轨迹方程是(　　)
A.y=2x2 B.y=8x2
C.y=4x2-12 D.y=4x2+12
【解析】选C.设AP中点为(x,y),则P(2x,2y+1)在2x2-y=0上,即2(2x)2-(2y+1)=0,所以y=4x2-12.
3.已知定点A(1,0)和定直线l:x=-1,在l上有两动点E,F且满足AE→⊥AF→,另有动点P,满足EP→∥OA→,FO→∥OP→(O为坐标原点),且动点P的轨迹方程为(　　)
A.y2=4x B.y2=4x(x≠0) C.y2=-4x D.y2=-4x(x≠0)
【解析】选B.设P(x,y),E(-1,y1),F(-1,y2)(y1,y2均不为零),
由EP→∥OA→⇒y1=y,即E(-1,y).
由FO→∥OP→⇒y2=-yx,
由AE→⊥AF→⇒y2=4x(x≠0).
4.(2021·青岛模拟)已知A,B是圆O:x2+y2=16上的两点,且|AB|=6,若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1,-1),则圆心M的轨迹方程是(　　)
A.(x-1)2+(y+1)2=9
B.(x+1)2+(y-1)2=9
C.(x-1)2+(y-1)2=9
D.(x+1)2+(y+1)2=9
【解析】选A.由于以AB为直径的圆恰好经过点C(1,-1),所以CA⊥CB,故△ACB为直角三角形,又M为斜边AB中点,所以|MC|=12|AB|=3,故点M的轨迹是以C(1,-1)为圆心,3为半径的圆,其方程为(x-1)2+(y+1)2=9.
【加固训练】
(2021·郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍,则动点P的轨迹方程为(　　)
A.x2+y2=32 B.x2+y2=16
C.(x-1)2+y2=16 D.x2+(y-1)2=16
【解析】选B.设P(x,y),则由题意可得:
2(x-2)2+y2=(x-8)2+y2,化简整理得x2+y2=16.
5.设过点P(x,y)的直线分别与x轴正半轴和y轴正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若BP→=2PA→,OQ→·AB→=1,则点P的轨迹方程
是(　　)
A.32x2+3y2=1(x>0,y>0)
B.32x2-3y2=1(x>0,y>0)
C.3x2-32y2=1(x>0,y>0)
D.3x2+32y2=1(x>0,y>0)
【解析】选A.设A(a,0),B(0,b)(a,b>0),可得BP→=(x,y-b),PA→=(a-x,-y),
OQ→=(-x,y),
AB→=(-a,b).
由BP→=2PA→,得x=2a-2x,y-b=-2y,即a=32x,b=3y.
由OQ→·AB→=1得ax+by=1.
所以32x2+3y2=1(x>0,y>0).
6.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点的椭圆经过A,B两点,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(　　)
A.y2-x248=1(y≤-1) B.y2-x248=1(y≥1)
C.x2-y248=1(x≤-1) D.x2-y248=1(x≥1)
【思路点拨】先求出已知点间的距离,再依据椭圆的定义解决.
【解析】选A.由题意知|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,
又由于|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,
所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,
故点F的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的下支.
又c=7,a=1,b2=48,
所以点F的轨迹方程为y2-x248=1(y≤-1).
7.已知点P在定圆O的圆内或圆周上,动圆C过点P与定圆O相切,则动圆C的圆心轨迹可能是(　　)
A.圆或椭圆或双曲线
B.两条射线或圆或抛物线
C.两条射线或圆或椭圆
D.椭圆或双曲线或抛物线
【解析】选C.当点P在定圆O的圆周上时,圆C与圆O内切或外切,O,P,C三点共线,所以轨迹为两条射线.
当点P在定圆O内时(非圆心),|OC|+|PC|=r0为定值,且r0>|OP|,所以轨迹为椭圆.
当P与O重合时,圆心轨迹为圆.
【误区警示】本题易因争辩不全,或找错关系而毁灭错误.
8.已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN切于点B,过M,N与圆C相切的两直线相交于点P,则P点的轨迹方程为(　　)
A.x2-y28=1(x>1) B.x2-y28=1(x<-1)
C.x2+y28=1(x>0) D.x2-y210=1(x>1)
【解析】选A.设另两个切点为E,F,如图所示,
则|PE|=|PF|,
|ME|=|MB|,
|NF|=|NB|,
从而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=2<|MN|,
所以P的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为2的双曲线的右支.a=1,c=3,则b2=8.
故方程为x2-y28=1(x>1).
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.方程(x+y-1)x-1=0表示的曲线为　　　　　　.
【解析】由方程(x+y-1)x-1=0可得x-1≥0,x+y-1=0或x-1≥0,x-1=0.即x+y-1=0(x≥1)或x=1,
所以方程表示直线x=1和射线x+y-1=0(x≥1).
答案:直线x=1和射线x+y-1=0(x≥1)
10.已知向量a=(x,3y),b=(1,0),且(a+3b)⊥(a-3b).则点M(x,y)的轨迹C的方程为　　　　　　.
【解析】由于(a+3b)⊥(a-3b),
所以(a+3b)·(a-3b)=0,
所以a2-3b2=0,所以x2+3y2-3=0,
即点M(x,y)的轨迹C的方程为x23+y2=1.
答案:x23+y2=1
11.下列说法:
①在△ABC中,已知A(1,1),B(4,1),C(2,3),则AB边上的高的方程是x=2;
②方程y=x2(x≥0)的曲线是抛物线;
③已知平面上两定点A,B,动点P满足|PA|-|PB|=12|AB|,则P点的轨迹是双曲线;
④第一、三象限角平分线的方程是y=x.
正确的是　　　　　　.
【解析】①中高线为线段,②中为抛物线的一部分,③中是双曲线的一支,④中方程是正确的.
答案:④
【加固训练】
曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:
①曲线C过坐标原点;
②曲线C关于坐标原点对称;
③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于12a2.
其中,全部正确结论的序号是　　　　　　.
【解析】设P(x,y)为曲线C上任意一点,
则由|PF1|·|PF2|=a2,得
(x+1)2+y2·(x-1)2+y2=a2.
把(0,0)代入方程可得1=a2,与a>1冲突,故①不正确.
当M(x,y)在曲线C上时,点M关于原点的对称点M′(-x,-y)也满足方程,
故曲线C关于原点对称,故②正确.
S△F1PF2=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2
=12a2sin∠F1PF2≤12a2,故③正确.
答案:②③
12.(力气挑战题)设椭圆方程为x2+y24=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B两点,O是坐标原点,点P满足OP→=12(OA→+OB→),当l绕点M旋转时,动点P的轨迹方程为　　　　　.
【思路点拨】设直线l的斜率为k,用参数法求解,但需验证斜率不存在时是否符合要求.
【解析】直线l过点M(0,1),当斜率存在时,设其斜率为k,
则l的方程为y=kx+1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题设可得点A,B的坐标(x1,y1),(x2,y2)是方程组y=kx+1　　　①x2+y24=1②的解,
将①代入②并化简得,
(4+k2)x2+2kx-3=0,
所以x1+x2=-2k4+k2,y1+y2=84+k2,
于是OP→=12(OA→+OB→)=x1+x22,y1+y22
=-k4+k2,44+k2.
设点P的坐标为(x,y),则x=-k4+k2,y=44+k2,消去参数k得4x2+y2-y=0,　③
当斜率不存在时,A,B中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0.
答案:4x2+y2-y=0
【方法技巧】利用参数法求轨迹方程的技巧
参数法是求轨迹方程的一种重要方法,其关键在于选择恰当的参数.一般来说,选参数时要留意:
①动点的变化是随着参数的变化而变化的,即参数要能真正反映动点的变化特征;②参数要与题设的已知量有着亲热的联系;③参数要便于轨迹条件中的各种相关量的计算,也要便于消去.常见的参数有角度、斜率、点的横坐标、纵坐标等.
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.(2022·嘉兴模拟)设点A(-3,0),B(3,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-23.
(1)求动点M的轨迹C的方程.
(2)若直线l过点F(1,0)且绕F旋转,l与圆O:x2+y2=5相交于P,Q两点,l与轨迹C相交于R,S两点,若|PQ|∈[4,19],求△F′RS的面积的最大值和最小值(F′为轨迹C的左焦点).
【解析】(1)设M(x,y),则kMA·kMB=yx+3·yx-3=-23(x≠±3),化简得x23+y22=1,所以轨迹C的方程为x23+y22=1(x≠±3).
(2)设l:x=my+1,O到l的距离d=11+m2,
所以|PQ|=25-11+m2∈[4,19],
所以0≤m2≤3,将x=my+1代入轨迹C方程并整理得:
(2m2+3)y2+4my-4=0.
设R(x1,y1),S(x2,y2),则y1+y2=-4m2m2+3,
y1y2=-42m2+3,所以|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2=16m2(2m2+3)2+162m2+3,
所以S△=12|y1-y2|·|FF′|=43(m2+1)(2m2+3)2,
设m2+1=t∈[1,4],则f(t)=4t+1t在[1,4]上递增,
所以f(t)∈5,654,
所以S△=43t(2t+1)2=434+4t+1t,
所以Smin=839,Smax=433.
【误区警示】本题易漏掉除去x≠3且x≠-3两种状况,其缘由是化简时,不是同解变形.
14.(2021·蚌埠模拟)已知点C(1,0),点A,B是☉O:x2+y2=9上任意两个不同的点,且满足AC→·BC→=0,设P为弦AB的中点.
(1)求点P的轨迹T的方程.
(2)摸索究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.
【解析】(1)连接CP,OP,OA,
由AC→·BC→=0,知AC⊥BC,
所以|CP|=|AP|=|BP|
=12|AB|.
由垂径定理知|OP|2+|AP|2=
|OA|2,
即|OP|2+|CP|2=9.
设点P(x,y),有(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=9,
化简,得到x2-x+y2=4.
(2)依据抛物线的定义,到直线x=-1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2=2px上,其中p2=1,
所以p=2,故抛物线方程为y2=4x.
由方程组y2=4x,x2-x+y2=4,得x2+3x-4=0,
解得x1=1,x2=-4,由于x≥0,
故取x=1,此时y=±2.
故满足条件的点存在,其坐标为(1,-2)和(1,2).
15.(力气挑战题)如图,动圆C1:x2+y2=t2,1<t<3,与椭圆C2:x29+y2=1相交于A,B,C,D四点,点A1,A2分别为C2的左,右顶点.
(1)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?并求出其最大面积.
(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.
【思路点拨】(1)由于A,B,C,D四点的对称性,可设出它们的坐标,利用坐标的某个变量来表示矩形面积,建立函数,求最值;
(2)利用点的坐标,据直线方程的点斜式写出直线方程,求交点坐标,用交轨法求轨迹方程.
【解析】(1)由于A,B,C,D四点的对称性,
设A(x0,y0),B(x0,-y0),C(-x0,-y0),D(-x0,y0),
则矩形ABCD的面积为S=AB×BC=2|y0|×2|x0|=4|x0y0|,
由点A(x0,y0)在椭圆x29+y2=1上,
所以x029+y02=1⇒y02=1-x029.
从而x02y02=x02(1-x029)=-19(x02-92)2+94,
故x02=92,y02=12时,x02y02取得最大值94.
从而S=AB×BC=2|y0|×2|x0|=4|x0y0|取得最大值6.
此时t2=x02+y02=5⇒t=5.
(2)由A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0)可得直线AA1的方程:y=y0x0+3(x+3)　①
直线A2B的方程:y=-y0x0-3(x-3)　②
设直线AA1与直线A2B的交点M(x,y)
由①②得y2=-y02x02-9(x2-9)　③
由(1)知y02=1-x029　④
④代入③整理得x29-y2=1(x<-3,y<0)
因此点M的轨迹方程为x29-y2=1(x<-3,y<0).
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