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模块综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC．这个命题的大前提为( )
A．三角形的中位线平行于第三边
B．三角形的中位线等于第三边的一半
C．EF为中位线
D．EF∥CB
答案：A
2.(ex＋2x)dx＝( )
A．1 B．e－1
C．e D．e＋1
解析：选C．(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)＝e，故选C．
3．复数()2＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a2－b2的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．－1
解析：选D．()2＝＝－i＝a＋bi.所以a＝0，b＝－1，所以a2－b2＝0－1＝－1.
4．下列求导运算正确的是( )
A．(x＋)′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2xsin x
解析：选B.(x＋)′＝1－，所以A不正确；
(3x)′＝3xln 3，所以C不正确；
(x2cos x)′＝2xcos x＋x2·(－sin x)，所以D不正确；
(log2x)′＝，所以B正确．故选B.
5．用反证法证明命题：“若(a－1)(b－1)(c－1)＞0，则a，b，c中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是( )
A．假设a，b，c都大于1
B．假设a，b，c都不大于1
C．假设a，b，c中至多有一个大于1
D．假设a，b，c中至多有两个大于1
解析：选B.a，b，c中至少有一个大于1的否定为a，b，c都不大于1.
6．已知函数f(x)＝，则函数y＝f(x)的单调增区间是( )
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(－2，＋∞) D．(－∞，－2)和(－2，＋∞)
解析：选D．据解析式可知函数f(x)的定义域为{x|x∈R，x≠－2}，由于f′(x)＝＞0，故函数f(x)在(－∞，－2)和(－2，＋∞)上分别为增函数．
7．已知集合A＝{x|x2＋y2＝4}，集合B＝{x||x＋i|＜2，i为虚数单位，x∈R}，则集合A与B的关系是( )
A．AB B．BA
C．A∩B＝A D．A∩B＝∅
解析：选B.|x＋i|＝＜2，
即x2＋1＜4，解得－＜x＜，
∴B＝(－，)，
而A＝[－2,2]，∴BA，故选B.
8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，从n＝k到n＝k＋1，等式左边应添加的式子是( )
A．(k－1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2
C．(k＋1)2 D．(k＋1)[2(k＋1)2＋1]
解析：选B.n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，
∴从n＝k到n＝k＋1，左边应添加的式子为(k＋1)2＋k2.
9．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系为( )
A．P＞Q B．P＝Q
C．P＜Q D．由a的取值确定
解析：选C．要比较P与Q的大小，只需比较P2与Q2的大小，只需比较2a＋7＋2与2a＋7＋2的大小，只需比较a2＋7a与a2＋7a＋12的大小，即比较0与12的大小，而0＜12，故P＜Q.
10．如图，阴影部分的面积为( )
A．[f(x)－g(x)]dx
B． [g(x)－f(x)]dx＋[f(x)－g(x)]dx
C．[f(x)－g(x)]dx＋[g(x)－f(x)]dx
D．[g(x)－f(x)]dx
解析：选B.∵在区间(a，c)上g(x)＞f(x)，而在区间(c，b)上g(x)＜f(x)．
∴S＝[g(x)－f(x)]dx＋[f(x)－g(x)]dx，故选B.
11．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中确定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和微小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和微小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和微小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和微小值f(2)
解析：选D．由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当x＝－2时，f′(x)＝0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＝2时，f′(x)＝0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得微小值．
12．观看数表：
1 2 3 4 … 第一行
2 3 4 5 … 其次行
3 4 5 6 … 第三行
4 5 6 7 … 第四行
… … … …
第一列 其次列 第三列 第四列
依据数表中所反映的规律，第n行与第n－1列的交叉点上的数应当是( )
A．2n－1 B．2n＋1
C．n2－1 D．2n－2
解析：选D．依据数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，那么，由此可以推导出第n行与第n列交叉点上的数应当是2n－1，故第n行与第n－1列的交叉点上的数应为2n－2.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)
13．设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．
解析：由i(z＋1)＝－3＋2i，得到z＝－1＝2＋3i－1＝1＋3i.
答案：1
14．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－q，则产量q＝________时，利润L最大．
解析：收入R＝q·p＝q(25－q)＝25q－q2.
利润L＝R－C＝(25q－q2)－(100＋4q)＝－q2＋21q－100(0＜q＜200)，
L′＝－q＋21，令L′＝0，即－q＋21＝0，求得唯一的极值点q＝84.
∴产量q为84时，利润L最大．
答案：84
15．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为________．
解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.
答案：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1
16．(2022·山东省试验中学月考)给出下列四个命题：
①若f′(x0)＝0，则x0是f(x)的极值点；
②“可导函数f(x)在区间(a，b)上不单调”等价于“f(x)在区间(a，b)上有极值”；
③若f(x)＞g(x)，则f′(x)＞g′(x)；
④假如在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上确定能取得最大值和最小值．
其中真命题的序号是________(把全部真命题的序号都填上)．
解析：②④明显正确；对f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故①错；f(x)＝x＋1＞g(x)＝x，但f′(x)＝g′(x)＝1，故③错．
答案：②④
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.
求：(1)z1＋2；(2)z1·z2；(3).
解：z2＝＝＝＝
＝1－3i.
(1)z1＋2＝(2－3i)＋(1＋3i)＝3.
(2)z1·z2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i＝－7－9i.
(3)＝＝＝＝＋i.
18．(本小题满分12分)求函数f(x)＝的单调区间．
解：函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
由于x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以ex＞0，(x－2)2＞0.
由f′(x)＞0，得x＞3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)＜0，得x＜3，
又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
19．(本小题满分12分)已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，求证：
(1)a2＋b2＋c2≥；
(2)＋＋≤.
证明：(1)∵a2＋≥a，b2＋≥b，c2＋≥c，
∴(a2＋)＋(b2＋)＋(c2＋)≥a＋b＋c＝.
∴a2＋b2＋c2≥.
(2)∵≤，≤，≤，
三式相加得＋＋≤(a＋b＋c)＋＝1，
∴＋＋≤.
20．(本小题满分12分)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.
(1)写出a1，a2，a3，并推想an的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．
解：(1)由Sn＋an＝2n＋1，
当n＝1时，S1＝a1，∴a1＋a1＝2×1＋1，得a1＝.
当n＝2时，S2＝a1＋a2，
则a1＋a2＋a2＝5，将a1＝代入得a2＝.
同理可得a3＝.
∴an＝＝2－.
(2)证明：当n＝1时，结论成立．
假设n＝k时，命题成立，即ak＝2－；
当n＝k＋1时，Sn＋an＝2n＋1，
则a1＋a2＋…＋ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1.
∵a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，
∴2ak＋1＝4－，ak＋1＝2－成立．
∴当n＝k＋1时，结论也成立．
∴依据上述知对于任意自然数n∈N*，结论成立．
21．(本小题满分13分)设函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.
(1)若x＝1时，函数f(x)取得极值，求函数f(x)在x＝－1处的切线方程；
(2)若函数f(x)在区间(，1)内不单调，求实数a的取值范围．
解：(1)由已知得f′(x)＝3x2＋2ax＋1，f′(1)＝0，故a＝－2，
∴f(x)＝x3－2x2＋x＋1，当x＝－1时，f(－1)＝－3，即切点坐标为(－1，－3)．
又f′(－1)＝8，∴切线方程为8x－y＋5＝0.
(2)f(x)在区间(，1)内不单调，即f′(x)＝0在(，1)内有解，
令f′(x)＝3x2＋2ax＋1＝0，则2ax＝－3x2－1.
由x∈(，1)，得2a＝－3x－.
令h(x)＝－3x－，由h′(x)＝－3＋＝0，
知h(x)在(，1)上单调递减，在(，]上单调递增，
∴h(1)＜h(x)≤h()，即h(x)∈(－4，－2]．
∴－4＜2a≤－2，即－2＜a≤－.
而当a＝－时，f′(x)＝3x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，不满足题意．
综上，实数a的取值范围为(－2，－)．
22．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x2－2x＋2＋ln x.
(1)求函数y＝f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)在[em，＋∞)(m∈Z)上有零点，求m的最大值．
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝x－2＋＝，
当f′(x)＞0时，x∈(0，)∪(2，＋∞)；当f′(x)＜0时，x∈(，2)，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，)和(2，＋∞)，单调递减区间为[，2]．
(2)由(1)知y极大值＝f()＝＋ln ＞0，y微小值＝f(2)＝ln 2－＞0.
当x＞0且x→0时f(x)＜0，故f(x)在定义域上存在唯一零点x0，且x0∈(0，)．
若m≥0，则em≥1，[em，＋∞)⊂(，＋∞)，此区间不存在零点，舍去，故m＜0.
当m＝－1时，x∈[，＋∞)，f()＝1＋－＞0，
又(，)为增区间，此区间不存在零点，舍去．
当m＝－2时，x∈[，＋∞)，f()＝(－2)＜0，
又(，)为增区间，且y＝f()＞0，故x0∈(，)．
综上，m的最大值为－2.
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