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开卷速查(六十七) 离散型随机变量及其分布列
A级 基础巩固练
1．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产状况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)依据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
解析：(1)依据频率分布直方图可知，质量超过505克的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12.
(2)Y的可能取值为0,1,2，且Y听从参数为N＝40，M＝12，n＝2的超几何分布，故
P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝.
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
P
2.某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．
(1)随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；
(2)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列；
(3)随机选取3件产品，求这3件产品都不能通过检测的概率．
解析：(1)设随机选取一件产品，能够通过检测的大事为A，大事A等于大事“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”，
∴P(A)＝＋×＝.
(2)由题可知X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
∴X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P
(3)设“随机选取3件产品都不能通过检测”的大事为B，大事B等于大事“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”，
所以，P(B)＝·3＝.
B级 力气提升练
3．一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选1个选项，答对得5分，不答或答错得0分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有2道题都可推断2个选项是错误的，有1道题可以推断1个选项是错误的，还有1道题因不理解题意只好乱猜．恳求出该考生：
(1)得60分的概率；
(2)所得分数X的分布列．
解析：(1)设“选对可推断2个选项是错误的2道题之一”为大事A，“选对可推断1个选项是错误的1道题”为大事B，“选对不理解题意的1道题”为大事C.
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
所以得60分的概率P＝×××＝.
(2)依题意得，所得分数X可能的取值为40,45,50,55,60.
P(X＝40)＝×××＝；
P(X＝45)＝C××××＋×××＋×××＝；
P(X＝50)＝×××＋C××××＋C××××＋×××＝；
P(X＝55)＝C××××＋×××＋×××＝；
P(X＝60)＝×××＝.
所以所得分数X的分布列为：
X
40
45
50
55
60
P
4.2022年10月1日，为庆祝中华人民共和国成立65周年，来自北京高校和清华高校的6名高校生志愿者被随机平均支配到天安门广场运送矿泉水、打扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有1名北京高校志愿者的概率是.
(1)求打扫卫生岗位恰好有北京高校、清华高校志愿者各1名的概率；
(2)设随机变量ξ为在维持秩序岗位服务的北京高校志愿者的人数，求ξ的分布列．
解析：(1)记“至少有1名北京高校志愿者被分到运送矿泉水岗位”为大事A，则大事A的对立大事为“没有北京高校志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有北京高校志愿者x名，1≤x<6，那么P(A)＝1－＝，解得x＝2，即来自北京高校的志愿者有2名，来自清华高校的志愿者有4名．
记“打扫卫生岗位恰好有北京高校、清华高校志愿者各1名”为大事B，则P(B)＝＝，
所以打扫卫生岗位恰好有北京高校、清华高校志愿者各1名的概率是.
(2)在维持秩序岗位服务的北京高校志愿者的人数ξ听从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝2，于是
P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2，
∴P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
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