2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练-7-2-Word版含解析.docx

分别参数法解决不等式恒成立问题
[典例]　(2022·天津调研)设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈[，＋∞)，f()－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是________．
[审题视角]　本题把函数问题与恒成立问题奇异的结合起来，解题时先把参数分别，从而把恒成立问题转化为函数最值问题．
[解析]　依据题意得－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)在x∈[，＋∞)上恒成立，
即－4m2≤－－＋1在x∈[，＋∞)上恒成立．
即(－4m2)≤(－－＋1)min，
当x＝时函数y＝－－＋1取得最小值－，
所以－4m2≤－，即(3m2＋1)(4m2－3)≥0，
解得m≤－或m≥.
[答案]　(－∞，－]∪[，＋∞)

对于给定区间上的不等式恒成立问题，一般可依据以下几步求解：
第一步：整理不等式，分别参数；
其次步：构造函数g(x)；
第三步：求函数g(x)在给定区间上的最大值或最小值；
第四步：依据最值构造不等式求参数；
第五步：反思回顾，查看关键点，易错点，完善解题步骤．该题需留意两点：①分别参数时确定要搞清谁是参数；②求g(x)最值的常用方法有：二次函数、均值不等式、单调性等．

1．(2022·广州模拟)若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，求a的取值范围．
解：由4x－2x＋1－a≥0可得a≤4x－2x＋1
令2x＝t，则4x＝t2，∵x∈[1,2]，∴t∈[2,4]
∴a≤t2－2t，要使关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立
只需a≤(t2－2t)min，而t2－2t＝(t－1)2－1
∵t∈[2,4]
∴t2－2t∈[0,8]，∴a≤0.
2．(2022·淄博模拟)若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0对一切x∈(0,2]恒成立，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，)　　　　　　　　
B．[，＋∞)
C．(－∞，]∪[，＋∞)
D．[，]
解析：∵x∈(0,2]，∵a2－a≥＝.要使a2－a≥在x∈(0,2]上恒成立，则a2－a≥()max，由均值不等式得x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，即()max＝.故a2－a≥，解得a≤或a≥，故选C.
答案：C