【2020秋备课】高中数学学案新人教A版必修1-3.1.1-方程的根与函数的零点.docx

3.1.1 方程的根与函数的零点学案

学习目标
1. 结合二次函数的图象，推断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；
2. 把握零点存在的判定定理.

学习过程
一、课前预备
（预习教材P86~ P88，找出怀疑之处）
复习1：一元二次方程+bx+c=0 (a0)的解法.
判别式= .
当 0，方程有两根，为 ；
当 0，方程有一根，为 ；
当 0，方程无实根.

复习2：方程+bx+c=0 (a0)的根与二次函数y=ax+bx+c (a0)的图象之间有什么关系？

判别式
一元二次方程
二次函数图象

二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：函数零点与方程的根的关系
问题：
① 方程的解为 ，函数的图象与x轴有 个交点，坐标为 .
② 方程的解为 ，函数的图象与x轴有 个交点，坐标为 .
③ 方程的解为 ，函数的图象与x轴有 个交点，坐标为 .

依据以上结论，可以得到：
一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的 .

你能将结论进一步推广到吗？

新知：对于函数，我们把使的实数x叫做函数的零点（zero point）.

反思：
函数的零点、方程的实数根、函数 的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系？

试试：
（1）函数的零点为 ； （2）函数的零点为 .

小结：方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点.

探究任务二：零点存在性定理
问题：
① 作出的图象，求的值，观看和的符号

② 观看下面函数的图象，

在区间上 零点； 0；
在区间上 零点； 0；
在区间上 零点； 0.

新知：假如函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有<0，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根.

争辩：零点个数确定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析.

※ 典型例题
例1求函数的零点的个数.

变式：求函数的零点所在区间.

小结：函数零点的求法.
① 代数法：求方程的实数根；
② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

※ 动手试试
练1. 求下列函数的零点：
（1）；
（2）.

练2. 求函数的零点所在的大致区间.

三、总结提升
※ 学习小结
①零点概念；②零点、与x轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理

※ 学问拓展
图象连续的函数的零点的性质：
（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号.
推论：函数在区间上的图象是连续的，且，那么函数在区间上至少有一个零点.
（2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的状况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 函数的零点个数为（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.若函数在上连续，且有．则函数在上（ ）.
A. 确定没有零点 B. 至少有一个零点
C. 只有一个零点 D. 零点状况不确定
3. 函数的零点所在区间为（ ）.
A. B. C. D.
4. 函数的零点为 .
5. 若函数为定义域是R的奇函数，且在上有一个零点．则的零点个数为 .

课后作业
1. 求函数的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.

2. 已知函数.
（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；
（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求值.