2022届数学(文)江苏专用一轮复习-课时作业3-1导数的概念及其运算-Word版含答案.docx

第1讲　导数的概念及其运算

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2022·苏北四市模拟)曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为________．
解析　依据导数运算法则可得y′＝ex＋xex＋2＝(x＋1)ex＋2，则曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线斜率为y′|x＝0＝1＋2＝3.故曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即3x－y－1＝0.
答案　3x－y－1＝0
2．(2021·苏、锡、常、镇四市调研)直线y＝kx与曲线y＝2ex相切，则实数k＝________.
解析　设直线y＝kx与曲线y＝2ex相切的切点坐标为(x0,2ex0)，且y′＝2ex，则切线方程为y－2ex0＝2ex0(x－x0)，切线经过坐标原点，代入点(0,0)，解得x0＝1，则实数k＝2ex0＝2e.
答案　2e
3．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
解析　∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，∴f′＝－f′sin ＋cos ，∴f′＝－1，
∴f＝(－1)cos ＋sin ＝1.
答案　1
4．已知曲线y＝x2－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点横坐标为________．
解析　设切点坐标为(x0，y0)(x0＞0)，∵y′＝x－，
∴y′|x＝x0＝x0－＝－，即x＋x0－6＝0，
解得x0＝2或－3(舍)．
答案　2
5．(2022·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．
解析　y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.由题意得解得则a＋b＝－3.
答案　－3
6.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.

解析　如图可知，f(5)＝3，f′(5)＝－1，因此f(5)＋f′(5)＝2.
答案　2
7．(2021·扬州调研)若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
解析　∵f(x)＝x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋.
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，∴x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2(x＞0)．
答案　[2，＋∞)
8．已知f 1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1(x)是f n(x)的导函数，即f 2(x)＝f 1′(x)，f 3(x)＝f ′2(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N*，则f 2 015(x)＝________.
解析　∵f 1(x)＝sin x＋cos x，∴f 2(x)＝f 1′(x)＝cos x－sin x，∴f 3(x)＝f 2′(x)＝－sin x－cos x，∴f 4(x)＝f 3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f 5(x)＝f 4′(x)＝sin x＋cos x，∴f n(x)是以4为周期的函数，∴f 2 015(x)＝f 3(x)＝－sin x－cos x，故选A.
答案　－sin x－cos x
二、解答题
9．已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
解　(1)∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x.
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，
即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，
故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
10．设抛物线C: y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
解　(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1，①
y1＝－x＋x1－4，②
①代入②得x＋x1＋4＝0.
∵P为切点，∴Δ＝2－16＝0得k＝或k＝.当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.
当k＝时，x1＝2，y1＝1.
∵P在第一象限，∴所求的斜率k＝.
(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.③
将③代入抛物线方程得x2－x＋9＝0.
设Q点的坐标为(x2，y2)，即2x2＝9，
∴x2＝，y2＝－4.∴Q点的坐标为.
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
1．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．
解析　y′＝－＝－.设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′
＝－＝－，∵t＋≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈.
答案　
2．(2022·武汉中学月考)已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 016x1＋log2 016x2＋…＋log2 016x2 015的值为________．
解析　f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，
点P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝，
∴x1·x2·…·x2 015＝×××…××＝，则log2 016x1＋log2 016x2＋…＋log2 016x2 015＝log2 016(x1x2…x2 015)＝－1.
答案　－1
3．已知f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝________.
解析　令g(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f(x)＝xg(x)，∴f′(x)＝g(x)＋x·g′(x)．
∴f′(0)＝g(0)＝(－1)·(－2)·(－3)·(－4)·(－5)＝－120.
答案　－120
4．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
(1)解　方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是
解得故f(x)＝x－.
(2)证明　设P(x0，y0)为曲线上任一点，
由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以曲线在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.