2022届-数学一轮(理科)-苏教版-江苏专用-课时作业-第八章-立体几何-7-.docx

第7讲　立体几何中的向量方法（二）
——求空间角

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2022·广东卷改编)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是________(填序号)．
①(－1,1,0)；②(1，－1,0)；③(0，－1,1)；④(－1,0,1)．
解析　 经检验，②中向量(1，－1,0)与向量a＝(1,0，－1)
的夹角的余弦值为，即它们的夹角为60°.
答案　②
2．(2022·新课标全国Ⅱ卷改编)直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为________．
解析　建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，设BC＝2，则B(0,2,0)，
A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以＝(1，－1,2)，＝(－1,0,2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cos θ＝＝＝.
答案　
3．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝1，N为B1B的中点，则||为________．
解析　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A( a,0,0)，C1(0，a，a)，N.
设M(x，y，z)，
∵点M在AC1上且＝1，
(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)
∴x＝a，y＝，z＝.
得M，
∴||＝＝ a.
答案　a
4．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为_________．
解析　 cos〈m，n〉＝＝，∴〈m，n〉＝.
∴两平面所成二面角的大小为或.
答案　或
5．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_________．

解析　以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝ (2，－2,1)．
设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
答案　
6． 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．
解析　以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，
E，D(0,1,0)，
∴＝(0,1，－1)，
＝，
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，所以有
即解得.∴n1＝(1,2,2)．
∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，
∴ cos〈n1，n2〉＝＝.
即所成的锐二面角的余弦值为.
答案　
7．在四周体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为________．
解析　依据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P－xyz，则P(0,0，，0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)．

过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离．
∵PA＝PB＝PC，∴H为△ABC的外心．又∵△ABC为正三角形，
∴H为△ABC的重心，
可得H点的坐标为.
∴PH＝＝a.
∴点P到平面ABC的距离为a.
答案　a
8. 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_________．
解析　以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．
设AB＝BC＝AA1＝2，
则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，
则＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)，
∴·＝2，
∴cos〈，〉＝＝，
∴EF和BC1所成的角为60°.
答案　60°
二、解答题
9．(2022·浙江卷)如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.
(1)证明：DE⊥平面ACD；
(2)求二面角B－AD－E的大小．
(1)证明　在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝，由AC＝，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，
所以AC⊥DE.又DE⊥DC，DC∩AC＝C，从而DE⊥平面ACD.
(2)解　以D为原点，分别以射线DE，DC为x轴，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系D－xyz，如图所示．
由题意知各点坐标如下：
D(0,0,0)，E(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,2，)，B(1,1,0)．
设平面ADE的法向量为m＝(x1，y1，z1), 平面ABD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，可算得＝(0，－2，－)，＝(1，－2，－)，＝(1,1,0)，
由即
可取m＝(0,1，－)．
由即
可取n＝ (1，－1，)．
于是|cos〈m，n〉|＝＝＝，由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B－AD－E的大小是.
10．(2021·扬州模拟)如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.
(1)若m＝1，求异面直线AP与BD1所成角的余弦；
(2)是否存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成角的正弦值是？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,2)，D1(0,0,2)．
所以＝(－1，－1,2)，＝(－1,1,1)．
cos〈，〉＝＝＝，
即异面直线AP与BD1所成角的余弦是.
(2)假设存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于，
则＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)，＝(－1,1，m)，
设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
则由得取x＝2，
得平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．
∵直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于，
∴＝，解得m＝，
由于0≤m≤2，所以m＝满足条件，
所以当m＝时，直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
1．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为________．
解析　取BC中点O，连接AO，DO.建立如图所示坐标系，设BC＝1，
则A，B，
D.∴＝，
＝，＝.
由于＝为平面BCD的一个法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n＝(1，－，1),
∴ cos〈n，〉＝，∴ sin〈n，〉＝.
答案　
2．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且 SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．
解析　如图，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a.则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P.
则＝(2a,0,0)，＝，
＝(a，a,0)，设平面PAC的一个法向量为n，
设n＝(x，y，z)，则
解得可取n＝(0,1,1)，
则 cos〈，n〉＝＝＝，
∴〈，n〉＝60°，
∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.
答案　30°
3．(2021·南京一模)P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM、PN，假如∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为_________．
解析　不妨设PM＝ a，PN＝b，如图，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F，
∵∠EPM＝∠FPN＝45°，
∴PE＝a，PF＝b，
∴·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋·
＝abcos 60°－a×bcos 45°－a×bcos 45°＋a×b
＝－－＋＝0.
∴⊥，∴二面角α－AB－β的大小为90°.
答案　90°
4．(2022·天津卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．
(1)证明　依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．
向量＝(0,1,1)，＝(2,0,0)，故·＝0.
所以BE⊥DC.
(2)解　向量＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)，设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，
则
即不妨令y＝1，
可得n＝(2,1,1)为平面PBD的一个法向量，于是有
cos〈n，〉＝＝＝.
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)解　向量＝(1,2,0)，＝(－2，－2,2)，＝(2,2,0)，＝(1,0,0)．由点F在棱PC上，设 ＝λ，0≤λ≤1.
故＝＋＝＋λ ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．
由 BF⊥AC，得·＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝.即＝.设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，
则即
不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0)，则
cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
易知，二面角F－AB－P是锐角，所以其余弦值为.