《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练-7-4-Word版含解析.docx

与线性规划有关的交汇问题
[典例]　(2022·江苏)已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，则的取值范围是________．
[审题视角]　(1)命题角度新颖，本题不是直接给出线性约束条件和目标函数求最值，因而需要将所给不等式组进行合理转化后，约束条件才明朗．
(2)考查学问点新颖，本题将不等式，对数、指数函数，导数以及曲线的切线问题相交汇，运算求解力气、运用数形结合、分类争辩的思想方法分析与解决问题的力气要求较高．
(3)正确将不等式5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc进行合理转化，明确约束条件，将其转化为线性规划问题；
(4)正确识别的几何意义，将其转化为斜率问题求解．
[解析]　由条件可得
令＝x，＝y，

则问题转化为约束条件为求目标函数z＝＝的取值范围，作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分)，过原点作y＝ex的切线，切线方程为y＝ex，切点P(1，e)在区域内．故当直线y＝zx过点P(1，e)时，zmin＝e；当直线y＝zx过点C(，)时，zmax＝7，故∈[e,7]．
[答案]　[e,7]

1．线性规划问题常与指数函数、对数函数、向量以及解析几何的相关学问交汇命题．
2．解决此类问题的思维精髓是“数形结合”，作图要精确，图上操作要规范．

1．(2022·陕西)设函数f(x)＝D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为________．
解析：y＝lnx在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1，可行域如图所示，作出直线x－2y＝0，从中看出，当过点(0，－1)时，zmax＝2，对于目标函数求解需要留意y的系数的正负对取值的影响．

答案：2
2．(2021·江苏，9)抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．
解析：

由y′＝2x，k切线＝2，切点(1,1)，
切线方程y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，与坐标轴围成的区域如图：
A(，0)，B(0，－1)．
令z＝x＋2y，在A处zmax＝，在B处zmin＝－2，
∴x＋2y的范围[－2，]．
答案：[－2，]