2022届数学一轮(理科)人教A版课时作业-选修4-5-1-不等式选讲.docx

第1讲　不等式、含有确定值的不等式

基础巩固题组
(建议用时：50分钟)
一、填空题
1．不等式|2x－1|＜3的解集为________．
解析　|2x－1|＜3⇔－3＜2x－1＜3⇔－1＜x＜2.
答案　(－1，2)
2．不等式|2x－1|－|x－2|＜0的解集为________．
解析　法一　原不等式即为|2x－1|＜|x－2|，
∴4x2－4x＋1＜x2－4x＋4，∴3x2＜3，∴－1＜x＜1.
法二　原不等式等价于不等式组
①或②或
③
不等式组①无解，由②得＜x＜1，由③得－1＜x≤.
综上得－1＜x＜1，所以原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．
答案　{x|－1＜x＜1}
3．不等式|x＋2|－|x|≤1的解集为________．
解析　①当x≤－2时，原不等式可化为－x－2＋x≤1，该不等式恒成立．
②当－2＜x＜0时，原不等式可化为x＋2＋x≤1，
∴2x≤－1，∴x≤－，∴－2＜x≤－.
③当x≥0时，原不等式可化为x＋2－x≤1，不成立．
综上，原不等式的解集为.
答案　
4．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为________．
解析　由|3x－b|＜4得－4＜3x－b＜4，
即＜x＜，
∵不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则
⇒∴5＜b＜7.
答案　(5，7)
5．(2021·江西卷)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1(x∈R)的解集是________．
解析　由||x－2|－1|≤1，得－1≤|x－2|－1≤1，即0≤|x－2|≤2，∴－2≤x－2≤2，∴0≤x≤4.
答案　{x|0≤x≤4}
6．不等式|x＋1|－|x－2|＞k的解集为R，则实数k的取值范围是________．
解析　法一　依据确定值的几何意义，设数x，－1，2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于PA－PB＞k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.
故当k＜－3时，原不等式恒成立．
法二　令y＝|x＋1|－|x－2|，
则y＝要使|x＋1|－|x－2|＞k恒成立，从图象中可以看出，只要k＜－3即可．故k＜－3满足题意．
答案　(－∞，－3)
7．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
解析　∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝

∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，
∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.
答案　(－∞，－3]∪[3，＋∞)
8．(2022·重庆卷)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析　法一　设y＝|2x－1|＋|x＋2|
＝
∴当x＝时，y取最小值3×＋1＝，
∴|2x－1|＋|x＋2|≥≥a2＋a＋2，
即2a2＋a－1≤0，∴－1≤a≤.
法二　|2x－1|＋|x＋2|＝|x－|＋
≥0＋＝，当且仅当x＝时取等号，因此函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值是.所以a2＋a＋2≤，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，即实数a的取值范围是.
答案　
9．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h；命题乙：|a－1|＜h且|b－1|＜h，则甲是乙的________条件．
解析　|a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|＜2h，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件．
答案　必要不充分
二、解答题
10．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
(1)解不等式f(x)＞2；
(2)求函数y＝f(x)的最小值．
解　(1)法一　令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－，x＝4.原不等式可化为：
或或
∴原不等式的解集为.
法二　f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝
画出f(x)的图象
求得y＝2与f(x)图象的交点为(－7，2)，.
由图象知f(x)＞2的解集为.
(2)由(1)的法二知：f(x)min＝－.
11．(2022·辽宁卷)设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.
(1)求M；
(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.
(1)解　f(x)＝
当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；
当x<1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.
所以f(x)≤1的解集为M＝{x|0≤x≤}．
(2)证明　由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得16≤4，解得－≤x≤.
因此N＝，
故M∩N＝.
当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是
x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝－≤.
12．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
(2)假如∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．
解　(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，
f(x)＝
作出函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的图象．
由图象可知，不等式f(x)≥3的解集为
.
(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，
不满足题设条件；
若a＜1，f(x)＝
f(x)的最小值为1－a；
若a＞1，f(x)＝
f(x)的最小值为a－1.
∴对于∀x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，
∴a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．