【2021届备考】2021届全国名校数学试题分类解析汇编(12月第三期)：K单元概率.docx

K单元概率
名目
K单元概率 1
K1　随大事的概率 1
K2　古典概型 3
K3　几何概型 5
K4 互斥大事有一个发生的概率 7
K5 相互对立大事同时发生的概率 7
K6　离散型随机变量及其分布列 7
K7　条件概率与大事的独立性 11
K8　离散型随机变量的数字特征与正态分布 11
K9 单元综合 12

K1　随大事的概率

【数学理卷·2021届湖北省八校高三第一次联考（202212）】18．（本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规章如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，其次排取的字符放在其次位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组组成.
第一排[]
明文字符
A
B
C
D
密码字符
11
12
13
14
其次排
明文字符
E
F
G
H
密码字符
21
22
23
24
第三排
明文字符
M
N
P
Q
密码字符
1
2
3
4
设随机变量表示密码中所含不同数字的个数.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求随机变量的分布列和它的数学期望．
【学问点】离散型随机变量的期望与方差；等可能大事的概率．K1 K6
【答案】【解析】（Ⅰ）;（Ⅱ）
解析：（I）密码中不同数字的个数为2的大事为密码中只有两个数字，留意到密码的第1，2列分别总1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码. ………4分
（II）由题意可知，的取值为2，3，4三种情形.
若，留意表格的第一排总含有数字1，其次排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2， 3或1，2，4.
若（或用求得）. ……8分
的分布列为：

……………………………………12分
【思路点拨】（Ⅰ）密码中不同数字的个数为2的大事为密码中只有两个数字，留意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码，由此可求P（ξ=2）；
（Ⅱ）取得ξ的取值，分别求出相应的概率，即可得到ξ的概率分布列和它的数学期望．

【数学文卷·2021届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考（202212）word版】16．（本小题满分12分）
已知某单位有50名职工，从中按系统抽样抽取10
名职工．
（1）若第5组抽出的号码为22，写出全部被抽出职
工的号码；
（2）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获
得体重数据的茎叶图如图所示，现从这10名
职工中随机抽取两名体重超过平均体重的职工，求体重为76公斤的
职工被抽取到的概率．
【学问点】随大事的概率K1
【答案】（1）2，7，12，17，22，27，32，37，42，47（2）
【解析】（1）由题意，第5组抽出的号码为22．由于22=5×（5-1）+2所以第1组抽出的号码应当为2，抽出的10名职工的号码分别为2，7，12，17，22，27，32，37，42，47
（2）从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：
（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81），（79，81）．故所求概率为：P=．
【思路点拨】（1）利用系统抽样的特点，可确定其抽样比，第1组抽出的号码，得全部被抽出职工的号码．（2）通过列举，利用古典概型概率公式，可得结果

K2　古典概型

【数学理卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试（202211）】18.（本题满分12分）
某市四所中学报名参与某高校今年自主招生的同学人数如下表所示：
中学

人数

为了了解参与考试的同学的学习状况，该高校接受分层抽样的方法从报名参与考试的四所中学的同学当中随机抽取50名参与问卷调查．
（1）问四所中学各抽取多少名同学？
（2）从参与问卷调查的名同学中随机抽取两名同学，求这两名同学来自同一所中学的概率；
（3）在参与问卷调查的名同学中，从来自两所中学的同学当中随机抽取两名同学，用表示抽得中学的同学人数，求的分布列．
【学问点】随机抽样古典概型离散型随机变量以及分布列I1 K2 K6
【答案】（1）；(2) ；(3) .
【解析】解析：（1）由题意知，四所中学报名参与该高校今年自主招生的同学总人数为100名，
抽取的样本容量与总体个数的比值为．
∴应从四所中学抽取的同学人数分别为． …………… 4分
（2）设“从名同学中随机抽取两名同学，这两名同学来自同一所中学”为大事，
从名同学中随机抽取两名同学的取法共有种，… 5分
来自同一所中学的取法共有． …………… 6分
∴．
答：从名同学中随机抽取两名同学来自同一所中学的概率为． … 7分
（3）由（1）知，名同学中，来自两所中学的同学人数分别为．
依题意得，的可能取值为， ………… 8分
，，．…… 11分
∴的分布列为： … 12分

【思路点拨】(1)由题意知抽取的样本容量与总体个数的比值为,由此能求出应从A，B，C，D四所中学抽取的同学人数；（2）利用组合的意义分别计算出从参与问卷调查的50名同学中随机抽取两名同学的方法和这两名同学来自同一所中学的取法，再利用古典概型的概率计算公式即可得出；（3）由（1）知，在参与问卷调查的50名同学中，来自A，C两所中学的同学人数分别为15，10．可得ξ的可能取值为0，1，2．利用超几何分布的概率计算公式即可得到分布列，利用数学期望的概率计算公式即可得出．

【数学理卷·2021届云南省部分名校高三12月统一考试（202212）】9．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是（）
A．B．C．D．
【学问点】古典概型K2
【答案】D
【解析】个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数与十位数有一个为奇数，一个为偶数，共有+=45记：“个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数为0”为大事A，则A包含的结果：10，30，50，70，90共5个由古典概率的求解公式可得，
P（A）=
【思路点拨】先求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数n，然后再求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数，由古典概率的求解公式可求.

【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】17. （本题满分13分）从某校高三同学中抽取名同学参与数学竞赛，依据成果（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成果的范围是区间 [40, 100),且成果在区间[70, 90)的同学人数是27人.⑴求的值;
⑵若从数学成果（单位：分）在[40,60)的同学中随机选取2人进行成果分析，求至少有1人成果在[40, 50)内的概率.

【学问点】用样本估量总体；古典概型. I2 K2
【答案】【解析】（1）50；（2）.解析：⑴成果在区间的频率是：
1(0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54，
∴人．
⑵成果在区间的同学人数是：50×0.04=2人，
成果在区间的同学人数是：50×0.06=3人，
设成果在区间的同学分别是A1，A2，成果在区间的同学分别是B1，B2，B3，
从成果在的同学中随机选取2人的全部结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，
(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10种状况．
至少有1人成果在内的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7种状况．
∴至少有1人成果在内的概率P=．
【思路点拨】（1）先求成果在区间的频率，由频率=得n值；（2）分别求出成果在区间的同学人数2人，和成果在区间的同学人数3人，用列举法写出从这5人中随机选取2人的全部状况共10种，其中至少有1人成果在内的结果有7种，从而得所求概率.

K3　几何概型

【数学理卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试（202211）】5．已知，A是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）
A. B. C. D.
【学问点】几何概型K3
【答案】【解析】D解析：联立得，解得或，
设曲线与曲线围成的面积为S，则,而，
表示的区域是一个边长为2的正方形，∴Ω上随机投一点P，则点P落入区域A（阴影部分）中的概率，故选D．

【思路点拨】本题利用几何概型求解．欲求恰好落在阴影范围内的概率，只须求出阴影范围内的面积与正方形的面积比即可．为了求出阴影部分的面积，联立由曲线和曲线两个解析式求出交点坐标，然后在）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可.

【数学理卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试（202211）】4. 已知实数，执行如右图所示的流程图，
则输出的x不小于55的概率为（ ）
A.B.C.D.
【学问点】程序框图几何概型L1 K3
【答案】【解析】B解析：设实数，
经过第一次循环得到x=2x+1，n=2
经过其次循环得到x=2（2x+1）+1，n=3
经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=3此时输出x
输出的值为8x+7
令8x+7≥55，得x≥6
由几何概型得到输出的x不小于55的概率为=，故选择B.
【思路点拨】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于55得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于55的概率．

【数学文卷·2021届湖北省八校高三第一次联考（202212）word版】14．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是____．
【学问点】几何概型的概率求法. K3
【答案】【解析】解析：分别以三角形三个顶点为圆心，1为半径作圆，则在三角形内部且在三圆外部的区域，即为与三角形三个顶点距离不小于1 的部分，
即.
【思路点拨】求出三角形中，到三顶点距离都大于1的点构成的区域面积，此面积除以三角形面积，即为所求概率.

K4 互斥大事有一个发生的概率

K5 相互对立大事同时发生的概率

K6　离散型随机变量及其分布列

【数学理卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试（202211）】20．（本小题满分12分）
节日期间,高速大路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速大路的车速(km/h)分成六段后得到如下图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）此调查公司在采样中用到的是什么抽样方法?
（Ⅱ）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估量值.
（Ⅲ）若从车速在的车辆中任抽取2辆,求抽出
的2辆车中车速在的车辆数的分布列及
数学期望.
【学问点】频率分布直方图，分布列与数学期望I2 K6
【答案】【解析】（Ⅰ）系统抽样（Ⅱ）中位数的估量值为（Ⅲ）的分布列为均值.
解析：（I）系统抽样……………………2分
（II）众数的估量值为最高的矩形的中点,即众数的估量值等于，
设图中虚线所对应的车速为,则中位数的估量值为
,解得
即中位数的估量值为……………………6分
（Ⅲ）从图中可知，车速在的车辆数为（辆）.
车速在的车辆数为（辆），

的分布列为
均值. ……………………12分
【思路点拨】（II）众数的估量值为最高的矩形的中点（Ⅲ）由题意求出

即可求得分布列与期望.

【数学理卷·2021届湖北省八校高三第一次联考（202212）】18．（本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规章如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，其次排取的字符放在其次位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组组成.
第一排[]
明文字符
A
B
C
D
密码字符
11
12
13
14
其次排
明文字符
E
F
G
H
密码字符
21
22
23
24
第三排
明文字符
M
N
P
Q
密码字符
1
2
3
4
设随机变量表示密码中所含不同数字的个数.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求随机变量的分布列和它的数学期望．
【学问点】离散型随机变量的期望与方差；等可能大事的概率．K1 K6
【答案】【解析】（Ⅰ）;（Ⅱ）
解析：（I）密码中不同数字的个数为2的大事为密码中只有两个数字，留意到密码的第1，2列分别总1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码. ………4分
（II）由题意可知，的取值为2，3，4三种情形.
若，留意表格的第一排总含有数字1，其次排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2， 3或1，2，4.
若（或用求得）. ……8分
的分布列为：

……………………………………12分
【思路点拨】（Ⅰ）密码中不同数字的个数为2的大事为密码中只有两个数字，留意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码，由此可求P（ξ=2）；
（Ⅱ）取得ξ的取值，分别求出相应的概率，即可得到ξ的概率分布列和它的数学期望．

【数学理卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试（202211）】18.（本题满分12分）
某市四所中学报名参与某高校今年自主招生的同学人数如下表所示：
中学

人数

为了了解参与考试的同学的学习状况，该高校接受分层抽样的方法从报名参与考试的四所中学的同学当中随机抽取50名参与问卷调查．
（1）问四所中学各抽取多少名同学？
（2）从参与问卷调查的名同学中随机抽取两名同学，求这两名同学来自同一所中学的概率；
（3）在参与问卷调查的名同学中，从来自两所中学的同学当中随机抽取两名同学，用表示抽得中学的同学人数，求的分布列．
【学问点】随机抽样古典概型离散型随机变量以及分布列I1 K2 K6
【答案】（1）；(2) ；(3) .
【解析】解析：（1）由题意知，四所中学报名参与该高校今年自主招生的同学总人数为100名，
抽取的样本容量与总体个数的比值为．
∴应从四所中学抽取的同学人数分别为． …………… 4分
（2）设“从名同学中随机抽取两名同学，这两名同学来自同一所中学”为大事，
从名同学中随机抽取两名同学的取法共有种，… 5分
来自同一所中学的取法共有． …………… 6分
∴．
答：从名同学中随机抽取两名同学来自同一所中学的概率为． … 7分
（3）由（1）知，名同学中，来自两所中学的同学人数分别为．
依题意得，的可能取值为， ………… 8分
，，．…… 11分
∴的分布列为： … 12分

【思路点拨】(1)由题意知抽取的样本容量与总体个数的比值为,由此能求出应从A，B，C，D四所中学抽取的同学人数；（2）利用组合的意义分别计算出从参与问卷调查的50名同学中随机抽取两名同学的方法和这两名同学来自同一所中学的取法，再利用古典概型的概率计算公式即可得出；（3）由（1）知，在参与问卷调查的50名同学中，来自A，C两所中学的同学人数分别为15，10．可得ξ的可能取值为0，1，2．利用超几何分布的概率计算公式即可得到分布列，利用数学期望的概率计算公式即可得出．

K7　条件概率与大事的独立性

K8　离散型随机变量的数字特征与正态分布

【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】6.甲、乙、丙、丁四人参与国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成果和方差如下表：

甲
乙
丙
丁
平均成果
89
89
86
85
方差
2.1
3.5
2.1
5.6

从这四人中选择一人参与国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是（ ）
A． 甲 B．乙 C．丙 D．丁
【学问点】均值与方差的意义. K8
【答案】【解析】A解析：均值反映一组数据的平均水平，其越大越好；方差反映一组数据波动程度，其越小越好.故选A.
【思路点拨】依据均值与方差的意义得正确选项.

K9 单元综合