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课时提升作业(十三)
一、选择题
1.(2021·阳江模拟)已知f(x)=xln x，若f′(x0)=2，则x0等于( )
（A）e2 （B）e （C） （D）ln 2
2.已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 012(x)＝( )
(A)－sin x－cos x (B)sin x－cos x
(C)－sin x＋cos x (D)sin x＋cos x
3.若函数f(x)＝excos x，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( )
(A)0 (B)锐角 (C)直角 (D)钝角
4.(2021·青岛模拟)设函数f(x)=g(x)+x2，曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为( )
（A）2 （B）- （C）4 （D）-
5．如图，其中有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(-1)为( )
（A）2 （B)- （C）3 （D）-
6.(2021·茂名模拟)曲线y=x3+x在点(1,)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
二、填空题
7．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，则f′(5)＝_______.
8．(2021·肇庆模拟)曲线y=x3+3x2+6x-1的切线中，斜率最小的切线方程为_______.
9．(力气挑战题)若曲线f(x)=ax3+ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_______.
三、解答题
10．求下列各函数的导数：
(1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3).
(2)y＝
(3)y＝
(4)y＝e－xsin 2x.
11．已知曲线y=
（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程.
（2）求曲线过点P(2,4)的切线方程.
（3）求曲线的斜率为4的切线方程.
12.(力气挑战题)设函数y＝x2－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两条切线相互垂直．
(1)求a，b之间的关系.
(2)求ab的最大值．
答案解析
1.【解析】选B.由于f′(x)=ln x+x·=ln x+1，所以f′(x0)=ln x0+1,由ln x0+1=2得x0=e.
2.【解析】选B.∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，
∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，
∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，
∴fn(x)是以4为周期的函数，
∴f2 012(x)＝f4(x)＝sin x－cos x，故选B.
3.【解析】选D.由已知得：
f′(x)＝excos x－exsin x＝ex(cos x－sin x),
∴f′(1)＝e(cos 1－sin 1)．
∵>1>,
而由正、余弦函数性质可得cos 1<sin 1.
∴f′(1)<0，
即f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率k<0，
∴切线的倾斜角是钝角．
4.【解析】选C.由于曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1，所以
g′(1)=2.又f′(x)=g′(x)+2x,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=g′(1)+2=4.
5．【解析】选B.∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，
∴导函数f′(x)的图象开口向上．
又∵a≠0，∴其图象必为(3)．
由图象特征知f′(0)＝0，且对称轴x=－a＞0，
∴a＝－1，故f(－1)＝－.
6.【解析】选A.y′=x2+1，曲线在点(1，)处的切线斜率k=12+1=2,
故曲线在点(1，)处的切线方程为y-=2(x-1).
该切线与两坐标轴的交点分别是(,0),(0,-).
故所求三角形的面积是:
【方法技巧】导数几何意义的应用
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：
（1）已知切点A（x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k=f′(x0).
(2)已知斜率k，求切点A（x1，f(x1))，即解方程f′(x1)=k.
（3）已知过某点M（x1,f(x1)）（不是切点）的切线斜率为k时，常需设出切点A（x0，f(x0))，利用k=求解.
7．【解析】对f(x)＝3x2＋2xf′(2)求导，得f′(x)＝6x＋2f′(2)．令x ＝2，得f′(2)＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝6.
答案：6
8．【解析】y′=3x2+6x+6=3(x+1)2+3≥3.当x=-1时，y′min=3；当x=-1时，y=-5.∴斜率最小的切线方程为y+5=3(x+1)，即3x-y-2=0.
答案：3x-y-2=0
9．【思路点拨】求出导函数，依据导函数有零点，求a的取值范围.
【解析】由题意可知f′(x)=3ax2+，又由于存在垂直于y轴的切线，所以3ax2+=0⇒a=-(x＞0)⇒a∈(-∞,0).
答案：(-∞,0)
10．【解析】(1)方法一：y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝3x2＋12x＋11.
方法二：y′＝［(x＋1)(x＋2)］′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)·(x＋3)′
＝［(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′］(x＋3)＋(x＋1)·(x＋2)
＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝3x2＋12x＋11.
(2)∵y＝
∴y′＝
(3)∵y＝＝cos x－sin x，
∴y′＝－sin x－cos x.
(4)y′＝(－e－x)sin 2x＋e－x(cos 2x)×2
＝e－x(2cos 2x－sin 2x)．
11．【解析】（1）∵点P(2,4)在曲线y=上，且y′=x2,
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y′|x=2=4，
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
（2）设曲线y=与过点P(2,4)的切线相切于点A（x0，），则切线的斜率k=y′|，∴切线方程为y-()=x02（x-x0），
即y=
∵点P(2,4)在切线上，∴4=
即x-3x+4=0，∴x+x-4x+4=0，
∴（x0+1）(x0-2)2=0,
解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
（3）设切点为（x0,y0）,
则切线的斜率为k=x=4,x0=±2，
所以切点为（2，4），（-2，-）,
∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+=4(x+2),
即4x-y-4=0和12x-3y+20=0.
【变式备选】已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程.
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.
(3)假如曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
【解析】(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13,
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)方法一：设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，∴x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2＋1＝13，
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
方法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝
又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，
∴＝3x＋1，
解得x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2＋1＝13，
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1，
∴切点坐标为（1,-14)或(-1,-18),
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
12.【解析】(1)对于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2，
对于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a，
设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，
由题意知过交点(x0，y0)的两条切线相互垂直，
∴(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，
即4x－2(a＋2)x0＋2a－1＝0. ①
又点(x0，y0)在C1与C2上，
故有
∴2x－(a＋2)x0＋2－b＝0. ②
由①-②×2得，2a+2b=5,∴b=-a.
(2)由(1)知：b＝－a，
∴ab＝a(－a)＝－(a－)2＋,
∴当a＝时，(ab)最大＝.
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