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天水一中2021级2022——2021学年第一学期其次学段考试
数学试题（理科）
命题：韩云亮 审核：张硕光
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.由“若，则”推理到“若，则”是（ ）
A.归纳推理 B.类比推理 C.演绎推理 D.不是推理
2．已知,则“”是“复数为虚数单位)为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．函数=的导函数是( )
A．y′=3 B．y′=2
C．y′=（3+） D．y′=（3+）
4.两不重合平面的法向量分别为＝(1,0，－1)，＝(－2，0,2)，则这两个平面的位置关系是( )
A．平行 B．相交不垂直 C．垂直 D． 以上都不对
5. 观看，由归纳推理可得：若定义在R上的函数满足，记为的导函数，则（ ）
A. B. C. D.
6．函数的定义域为（a,b），其导函数内的图象如图所示，则函数在区间（a,b）内微小值点的个数是（ ）
A． 1 B．2 C．3 D．4
7.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是（ ）
A. 5，15 B. 5， C. 5， D. 5，
8.函数在处有极值10, 则点为（ ）
A. B. C. 或 D.不存在
9.平面α的一个法向量＝(1，－1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．
10.设分别是定义在上的奇函数和偶函数,当时，
，且，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．设复数满足（是虚数单位），则复数的模为 ．
12．计算由曲线与直线所围成图形的面积 ．
13.点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值是 ．
14．已知定义在R上的函数满足为的导函数。已知的图象如图所示，若两个正数满足，
则的取值范围是 ．
三、解答题（共44分）
15．（本小题满分10分）已知曲线C：.
（Ⅰ）试求曲线C在点处的切线方程；
（Ⅱ）试求与直线平行的曲线C的切线方程．
16．（本小题满分10分）已知数列的前项和．
（1）计算，，，；
（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
A
B
C
D
P
17．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，
，为正三角形，
且平面平面．
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
18．（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对于都有成立，试求的取值范围；
（Ⅲ）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.
2021级（高二）2022——2021学年第一学期其次学段考试试题
数学（理科）
一、选择题（每小题4分，共40分）BCDAD ACBBB
二、填空题（每小题4分，共16分）11. 12. 13. 16.
三、解答题（共44分）
15.解：(Ⅰ) （Ⅱ）或
16.（1）解：；；；.
(2)猜想：.下面用数学归纳法证明
①当时，猜想明显成立．
②假设时，猜想成立，即．
那么，当时，，即．又，
所以，从而．
即时，猜想也成立．故由①和②，可知猜想成立．
17．（Ⅰ）证明：取AD的中点O，连接PO，OC，
∵为正三角形，∴
又∵在四边形ABCD中，
，∴BC∥AO,且BC=AO
∴四边形ABCO为平行四边形，∴
∴，∴
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，且平面平面∴平面，所以分别以OC，OA，OP为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，并设BC=1，则AB=AD=2，,
∴，，，，
∴，,,
设平面APD，平面PDC的法向量分别为
则∴
∴分别取平面APD，平面PDC的一个法向量
∴∴二面角的余弦值为
18．解: (I) 直线的斜率为1.函数的定义域为，，所以，所以. 所以. .由解得；由解得.
所以的单调增区间是,单调减区间是.
(II) ，由解得；由解得.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
所以当时，函数取得最小值，.
由于对于都有成立，所以即可.
则. 由解得. 所以的范围是.
(III)依题得，则.由解得；由解得.
所以函数在区间为减函数，在区间为增函数.
又由于函数在区间上有两个零点，所以
解得.所以的取值范围是.
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