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第五节 幂函数与二次函数
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(16,4)，若f(m)＝3，则实数m的值为( )
A. B．±
C．±9 D．9
解析 由已知条件可得16α＝42α＝4，所以α＝，则f(x)＝x＝，故f(m)＝＝3⇒m＝9，选D.
答案 D
2．(2022·浙江卷)在同始终角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
解析 由于本题中函数为y＝xa(x>0)与y＝logax，对于选项A，没有幂函数图象，故错误；
对于选项B，由y＝xa(x>0)的图象知a>1，而由y＝logax的图象知0<a<1，故B错误；
对于选项C，由y＝xa(x>0)的图象知0<a<1，而由y＝logax的图象知a>1，故C错误；
对于选项D，由y＝xa(x>0)的图象，知0<a<1，而由y＝logax的图象知0<a<1，故选D.
答案 D
3．(2022·广东六校一模)若x∈(0,1)，则下列结论正确的是( )
A．lgx>x>2x B．2x>lgx>x
C．x>2x>lgx D．2x>x>lgx
解析 当x∈(0,1)时，2x∈(1,2)，x∈(0,1)，lgx∈(－∞，0)，所以2x>x>lgx.
答案 D
4．(2021·泰安模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若a＝c，则函数f(x)的图象不行能是( )
解析 由A，B，C，D四个选项知，图象与x轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为x1，x2，若只有一个交点，则x1＝x2，由于a＝c，所以x1x2＝＝1，比较四个选项，可知选项D的x1<－1，x2<－1，所以D不满足．
答案 D
5．关于x的二次方程(m＋3)x2－4mx＋2m－1＝0的两根异号，且负根的确定值比正根大，那么实数m的取值范围是( )
A．－3<m<0 B．0<m<3
C．m<－3或m>0 D．m<0或m>3
解析 由题意知
由①②③得－3<m<0，故选A.
答案 A
6．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[2，＋∞)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]
解析 二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x－1)≤0，x∈[0,1]，所以a>0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.
答案 D
二、填空题
7．幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－2为奇函数，则m＝________.
解析 由f(x)＝(m2－5m＋7)xm－2为幂函数得：
m2－5m＋7＝1，解得：m＝2或m＝3，
又由于该函数为奇函数，所以m＝3.
答案 3
8．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是____________________．
解析 设二次函数的解析式为f(x)＝a2＋49(a<0)，方程a2＋49＝0的两个根分别为x1，x2，
则|x1－x2|＝2 ＝7，
所以a＝－4，故f(x)＝－4x2－12x＋40.
答案 f(x)＝－4x2－12x＋40
9．已知二次函数f(x)＝cx2－4x＋a＋1的值域是[1，＋∞)，则＋的最小值是________．
解析 由已知得
得ac＝4，且a>0，c>0，
所以＋≥2 ＝2·＝3.
答案 3
三、解答题
10．(2021·武汉模拟)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式．
(2)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．
解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1，故f(x)＝ax2＋bx＋1.
由于f(x＋1)－f(x)＝2x，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.
即2ax＋a＋b＝2x，所以或
所以f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意得x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，
即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．
设g(x)＝x2－3x＋1－m，其图象的对称轴为直线x＝，所以g(x)在[－1,1]上递减．
故只需g(1)>0，即12－3×1＋1－m>0，解得m<－1.
11．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a，c∈N*)满足①f(1)＝5；②6<f(2)<11.
(1)求f(x)的解析式．
(2)若对任意实数x∈，都有f(x)－2mx≤1成立，求实数m的取值范围．
解 (1)f(1)＝a＋2＋c＝5，所以c＝3－a.
又6<f(2)<11，即6<4a＋c＋4<11，
则－<a<，故a＝1，c＝2.
f(x)的解析式为f(x)＝x2＋2x＋2.
(2)由(1)知f(x)＝x2＋2x＋2，由题意得2(1－m)≤－在上恒成立，易求min＝－，
故2(1－m)≤－，解得m≥.
1．(2021·江门、佛山模拟)已知幂函数f(x)＝xα，当x>1时，恒有f(x)<x，则α的取值范围是( )
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)
解析 当x>1时，恒有f(x)<x，即当x>1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象，由图象可知α<1时满足题意，故选B.
答案 B
2．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且a>b>c，a＋b＋c＝0，集合A＝{m|f(m)<0}，则( )
A．∀m∈A，都有f(m＋3)>0
B．∀m∈A，都有f(m＋3)<0
C．∃m0∈A，使得f(m0＋3)＝0
D．∃m0∈A，使得f(m0＋3)<0
解析 由a>b>c，a＋b＋c＝0可知a>0，c<0，
且f(1)＝0，f(0)＝c<0，
即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，
当x>1时，f(x)>0.
由a>b，得<1，
设方程ax2＋bx＋c＝0的另一个根为x1，
则x1＋1＝－>－1，即x1>－2，
由f(m)<0可得－2<m<1，
所以1<m＋3<4，
由抛物线的图象可知，f(m＋3)>0.选A.
答案 A
3．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________．
解析 由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，
所以f(x)min＝1且Δ<0.∴－＋1<a<＋1.
又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4，
当x∈R时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1，
即a2－2a－3＝0，
解得a＝3或a＝－1.
答案 －1或3
4．已知函数f(x)＝ax2－2x＋1.
(1)试争辩函数f(x)的单调性．
(2)若≤a≤1，且f(x)在[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)，求g(a)的表达式．
(3)在(2)的条件下，求证：g(a)≥
解 (1)当a＝0时，函数f(x)＝－2x＋1在(－∞，＋∞)上为减函数；
当a>0时，抛物线f(x)＝ax2－2x＋1开口向上，对称轴为x＝，
所以函数f(x)在上为减函数，在上为增函数；
当a<0时，抛物线f(x)＝ax2－2x＋1开口向下，对称轴为x＝，
所以函数f(x)在上为增函数，在上为减函数．
(2)由于f(x)＝a2＋1－，
由≤a≤1得1≤≤3，
所以N(a)＝f＝1－.
当1≤<2，即<a≤1时，M(a)＝f(3)＝9a－5，故g(a)＝9a＋－6；
当2≤≤3，即≤a≤时，M(a)＝f(1)＝a－1，
故g(a)＝a＋－2.
所以g(a)＝
(3)证明：当a∈时，g′(a)＝1－<0，
所以函数g(a)在上为减函数；
当a∈时，g′(a)＝9－>0，
所以函数g(a)在上为增函数，
所以当a＝时，g(a)取最小值，
g(a)min＝g＝.
故g(a)≥.
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