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第三章测试
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(5×10＝50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M＝{x|x2<4，x∈R}，N＝{x|x2－2x－3<0，x∈R}，则集合M∩N等于( )
A．{x|x<－2} B．{x|x>3}
C．{x|－1<x<2} D．{x|2<x<3}
解析 M＝{x|－2<x<2}，N＝{x|－1<x<3}，
所以M∩N＝{x|－1<x<2}．
答案 C
2．不等式>0的解集为( )
A．{x|x＜－2，或x>3}
B．{x|x<－2，或1<x<3}
C．{x|－2<x<1，或x>3}
D．{x|－2<x<1，或1<x<3}
解析 原不等式等价于(x－1)(x＋2)(x－3)>0，由穿针引线法，可得不等式的解集为{x|－2<x<1，或x>3}．
答案 C
3．设二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－1<x<}，则a＋b的值为( )
A．－1 B．－5
C．1 D．5
解析 由题意可知，ax2＋bx＋1＝0有两根－1，，由韦达定理得得则a＋b＝－5.
答案 B
4．若a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是( )
A.< B.<
C．a2<b2 D．|a|>|b|
解析 <0，>0.
答案 A
5．不等式<x＋1的解集是( )
A．{x|x>－} B．{x|x>，或－<x<1}
C．{x|－<x<1} D．{x|<x<2}
解析 由<x＋1，得<0.
即(x2－2)(x－1)>0.得x>，或－<x<1.
答案 B
6．设0<a<b<1，且a＋b＝1，给出下列结论：①log2(b－a)<0；②log2a＋log2b>－2；③log2a>1，④log2<1，其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①正确．
答案 A
7．不等式组表示的平面区域的面积为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析 不等式组表示的平面区域如图所示，A(2,3)，
B(2，－1)，S△＝|AB|×2＝4.
答案 B
8．已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，则代数式＋的最小值为( )
A．24 B．25
C．26 D．27
解析 由于第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，所以有2a＋3b－1＝0，a>0，b>0，即2a＋3b＝1，所以＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2＝25，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为25，选B.
答案 B
9．实数x，y满足若函数z＝x＋y取得最大值4，则实数a的值为( )
A．2 B．3
C．4 D.
解析 由z＝x＋y得y＝－x＋z，作出不等式对应的区域，平移直线y＝－x＋z，由图像可知当直线经过点D时，直线的截距最大为4，由解得即D(2,2)，所以a＝2，选A.
答案 A
10．已知f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2，当x∈R时f(x)恒为正数，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，2－1)
C．(－1,2－1) D．(－2－1,2－1)
解析 设3x＝t(t>0)，f(x)＝t2－(k＋1)t＋2，由题意可得，(k＋1)t<t2＋2，k＋1<t＋恒成立．
又t＋≥2(当且仅当t＝，t＝时取等号)，故k<2－1.
答案 B
二、填空题(5×5＝25分)
11．设x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为________．
解析 x，y满足的可行域为
得
当z＝3x－y过点A(2,1)时取得最大值，z＝3×2－1＝5.
答案 5
12．不等式>4的解集为________．
答案 (－∞，－3)∪(－2，－1)
13．设点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限的图像上运动，则log2m＋log2n的最大值是________．
解析 ∵m＋n＝1，且m>0，n>0，
log2m＋log2n＝log2mn≤log22＝－2.
答案 －2
14．已知x∈[0,1]时，不等式(2m－1)<x(m2－1)恒成立，则m的取值范围是________．
解析 设f(x)＝x(m2－1)－(2m－1)，
由题意可得得m<0.
答案 m<0
15．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值为________．
解析 由2x＋y＋6＝xy≥6＋2，令＝t.得不等式t2－2t－6≥0，得t≤－(舍)或t≥3，故xy的最小值为18.
答案 18
三、解答题(共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(12分)设比较(x＋1)(x－3)与(x＋2)(x－2)的大小．
解 (x＋1)(x－3)－(x＋2)(x－2)
＝x2－2x－3－x2＋4＝1－2x，
当1－2x>0，即x<时，
(x＋1)(x－3)>(x＋2)(x－2)；
当1－2x＝0，即x＝时，
(x＋1)(x－3)＝(x＋2)(x－2)；
当1－2x<0，即x>时，
(x＋1)(x－3)<(x＋2)(x－2)．
17．(12分)若f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)若f(x)>0，求x的取值范围．
解 (1)由题意得>0，得－1<x<1.
所以函数f(x)的定义域为{x|－1<x<1}．
(2)当a>1时，由f(x)＝loga>0，
得>1，得>0，得0<x<1.
当0<a<1时，由f(x)＝loga>0，
得0<<1，得
得－1<x<0.
综上得：当a>1时，f(x)>0的解集为(0,1)，当0<a<1时，不等式f(x)>0的解集为(－1,0)．
18．(12分)已知a，b，c都是正数，求证＋＋≥a＋b＋c.
证明 ∵＋≥2 ＝2c，
同理＋≥2a，＋≥2b.
∴2≥2a＋2b＋2c.
即＋＋≥a＋b＋c.
当且仅当a＝b＝c时“＝”成立，c为框架周长．
19．(13分)某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x，y分别为多少时用料最省？
解 设框架长为x ，宽为y，面积为S，
则S＝xy＋x2＝8.∴y＝－，
c＝2x＋2y＋x＝(2＋)x＋2
＝x＋≥2 ＝8＋4.
当且仅当x＝，即x＝4(2－)，y＝2.故当x＝8－4，y＝2时用料最省．
20．(13分)设函数f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；
(2)当0<a<1时，求函数f(x)的最小值．
解 (1)把a＝2代入f(x)＝x＋，
得f(x)＝x＋＝(x＋1)＋－1
∵x∈[0，＋∞)，
∴x＋1>0，>0，∴x＋1＋≥2.
当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，f(x)取最小值．
此时，f(x)min＝2－1.
(2)当0<a<1时，
f(x)＝x＋1＋－1，若x＋1＋≥2，
则当且仅当x＋1＝时取等号，此时x＝－1<0(不合题意)，
因此，上式等号取不到．设x1>x2≥0，则
f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2).
∵x1>x2≥0，∴x1－x2>0，x1＋1>1，x2＋1≥1.
∴(x1＋1)(x2＋1)>1.而0<a<1，
∴<1，∴f(x1)－f(x2)>0.
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝a.
21．(13分)已知函数f(x)＝(a、b为常数)，且方程f(x)－x＋12＝0有两个实根为x1＝3，x2＝4.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设k>1，解关于x的不等式f(x)<.
解 (1)将x1＝3，x2＝4分别代入方程－x＋12＝0，得解得
∴f(x)＝(x≠2)．
(2)不等式即为<，可化为<0，即(x－2)(x－1)(x－k)>0.
①当1<k<2时，解集为(1，k)∪(2，＋∞)；
②当k＝2时，不等式为(x－2)2(x－1)>0，解集为(1,2)∪(2，＋∞)；
③当k>2时，解集为(1,2)∪(k，＋∞)
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