2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业：2.6-幂函数与二次函数-.docx

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课时提升作业(九)
幂函数与二次函数
(25分钟　50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2021·青岛模拟)设n∈-1,12,1,2,3,则使得f(x)=xn为奇函数,且在(0,+∞)上单调递减的n的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选A.由f(x)=xn是奇函数,得n=-1,1,3,
又f(x)=xn在(0,+∞)上单调递减,所以n=-1,故选A.
2.(2021·唐山模拟)设y1=0.4 13,y2=0.5 13,y3=0.5 14,则　(　　)
A.y3<y2<y1 B.y1<y2<y3
C.y2<y3<y1 D.y1<y3<y2
【解析】选B.幂函数y=x 13是定义域上的单调递增函数,所以0.4 13<0.5 13,指数函数y=0.5x是定义域上的单调递减函数,所以0.5 13<0.5 14,故y1<y2<y3.
【加固训练】(2022·淄博模拟)若a<0,则下列不等式成立的是(　　)
A.2a>>(0.2)a B.(0.2)a>>2a
C. >(0.2)a>2a D.2a>(0.2)a>
【解析】选B.若a<0,则幂函数y=xa在(0,+∞)上是减函数,所以(0.2)a>>0.所以(0.2)a>>2a.
3.函数y=x-x的图象大致为(　　)

【解析】选A.函数y=x-x为奇函数.当x>0时,由x-x>0,即x3>x可得x2>1,即x>1,结合选项,选A.
4.抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第一象限,与x轴的两个交点分别位于原点两侧,则a,b,c的取值范围是(　　)
A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b>0,c>0
C.a<0,b<0,c>0 D.a<0,b>0,c<0
【解析】选B.由题意,抛物线开口向下,故a<0.由抛物线与x轴的两个交点分别位于原点两侧,得ac<0,所以c>0.再由顶点在第一象限得->0,所以b>0.
5.(2021·松原模拟)设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则(　　)
A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0
C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0
【解题提示】画出f(x)的大致图象,依据f(m)<0确定m的范围,从而确定m+1与0的关系,再依据f(x)的单调性推断.
【解析】选C.由于f(x)的对称轴为x=-12,f(0)=a>0,所以f(x)的大致图象如图所示.

由f(m)<0,得-1<m<0,
所以m+1>0,所以f(m+1)>f(0)>0.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2021·铜陵模拟)幂函数y=xα的图象过点(2,2),则实数α的值为　　　　.
【解析】由题意得2α=2,所以α=12.
答案:12
7.(2021·厦门模拟)如图,在第一象限内,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=log22x,y=x12,y=32x的图象上,且矩形的边分别平行两坐标轴,若A点的纵坐标是2,则D点的坐标是　　　　.

【解析】由2=log22x得x=222=12,
所以A12,2,
由题意,令B(x0,2),则2=,所以x0=4,即B(4,2),令C(4,y0),则y0=324=916,即C4,916,
故D12,916.
答案:12,916
8.(2022·江苏高考)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是　　　　　　.
【解析】由题意得
f(m)=m2+m2-1<0,f(m+1)=(m+1)2+m(m+1)-1<0,
解得-22<m<0.
答案:-22<m<0
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(1)已知二次函数的图象过点(0,2),(1,0),(3,0),求二次函数的解析式.
(2)若x≥0,y≥0,且x+2y=1,求2x+3y2的最小值.
【解析】(1)设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c,
则c=2,a+b+c=0,9a+3b+c=0,解得a=23,b=-83,c=2,
即f(x)=23x2-83x+2.
(2)由x+2y=1得x=1-2y≥0,所以0≤y≤12,
所以2x+3y2=2(1-2y)+3y2=3y2-4y+2
=3y-232+23在0,12上单调递减,
故其最小值为3×14-4×12+2=34.
【一题多解】本题(1)还可如下解答:
由题意,令二次函数的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3),
则2=a(0-1)(0-3),即a=23,
所以f(x)=23(x-1)(x-3)=23x2-83x+2.
10.(2021·济南模拟)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1,设f(x)=g(x)x.
(1)求a,b的值.
(2)若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,求实数k的取值范围.
【解析】(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a,由于a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,
故g(2)=1,g(3)=4,解得a=1,b=0.
(2)由已知可得f(x)=x+1x-2,所以f(2x)-k·2x≥0可化为2x+12x-2≥k·2x,
化为1+12x2-2·12x≥k,令t=12x,则k≤t2-2t+1,因x∈[-1,1],故t∈12,2,记h(t)=t2-2t+1,由于t∈12,2,故h(t)max=1,所以k的取值范围是(-∞,1].
(20分钟　40分)
1.(5分)(2021·泉州模拟)已知y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(x-1)2,若当x∈时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为(　　)
A. B. C. D.1
【解析】选D.当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x) =(x+1)2,
由于x∈,
所以f(x)min=f(-1)=0,f(x)max=f(-2)=1,
所以m≥1,n≤0,m-n≥1,
所以m-n的最小值是1.
2.(5分)(2021·湛江模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点,给出以下结论:
①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x2)<x2f(x1);③;④.
其中正确结论的序号是(　　)
A.①② B.①③ C.②④ D.②③
【解析】选D.设幂函数为y=xn,则有,得n=,则幂函数为y=,由其图象知图象上的点与原点连线的直线的斜率随x增大而减小,即,所以②③正确.
3.(5分)(2021·嘉兴模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是　(　　)
A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2)
C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
【解析】选C.当x≥0时,f(x)=x2+2x为增函数,由于f(x)是奇函数,故f(x)在R上为增函数.由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,解得-2<a<1.故实数a的取值范围是(-2,1).
4.(12分)(2021·大连模拟)指出函数f(x)=的单调区间,并比较f(-π)与的大小.
【解析】f(x)= =1+=1+ (x+2)-2,其图象可由幂函数y=x-2向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到.
所以该函数在(-2,+∞)上是减函数,在(-∞,-2)上是增函数,且其图象关于直线x=-2对称(如图).

又由于-2-(-π)=π-2<--(-2)=2-,
所以f(-π)>f（-）.
5.(13分)(力气挑战题)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别是M,m,集合A={x|f(x)=x}.
(1)若A={1,2},且f(0)=2,求M和m的值.
(2)若A={1},且a≥1,记g(a)=M+m,求g(a)的最小值.
【解析】(1)由f(0)=2可知c=2.又A={1,2},
故1,2是方程ax2+(b-1)x+2=0的两实根.
所以解得a=1,b=-2.
所以f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-2,2].
当x=1时,f(x)min=f(1)=1,即m=1.
当x=-2时,f(x)max=f(-2)=10,即M=10.
(2)由题意知,方程ax2+(b-1)x+c=0有两相等实根x=1.
所以即
所以f(x)=ax2+(1-2a)x+a,x∈[-2,2],其对称轴方程为x=
又a≥1,故
所以M=f(-2)=9a-2.m=
g(a)=M+m=9a--1.
又g(a)在区间[1,+∞)上单调递增,所以当a=1时,g(a)min=.
【加固训练】(2021·沈阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示,请依据图象:

(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间.
(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式.
(3)若函数g(x)= f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函数g(x)的最小值.
【解析】(1)f(x)在区间(-1,0),(1,+∞)上单调递增.
(2)设x>0,则-x<0,函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x,
所以f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),
所以f(x)=
(3)g(x)=x2-2x-2ax+2,对称轴方程为x=a+1,
当a+1≤1,即a≤0时,g(1)=1-2a为最小值;
当1<a+1≤2,即0<a≤1时,g(a+1)=-a2-2a+1为最小值;
当a+1>2,即a>1时,g(2)=2-4a为最小值.
综上,g(x)min=
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