河北省“五个一联盟”2022届高三上学期教学质量监测数学(理)试题-Word版含答案.docx

河北省“五个一名校联盟”2022届高三教学质量监测
数学试卷（理科）
（满分：150分，测试时间：120分钟）
第Ⅰ卷（60分）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1. 如图，已知是实数集，集合
，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． [0,1] B．[0,1) C．(0,1) D．(0,1]
2.函数的图象按向量平移得到的图象，则可以是（ ）
A． B． C． D．
3.已知命题：；命题：，则下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
4.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为（ ）
A.232 B.252 C.472 D.484
5.向量满足,则与的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6.如图程序框图输出的结果是S＝720，则推断框内应填的是（ ）
A． B． C． D．
7.在二项式的开放式中，偶数项的二项式系数之和为128，
则开放式的中间项的系数为（ ）
A.-960 B.960 C.1120 D.1680
8.已知等差数列{}的前项和为，且，则过点和的直线的斜率是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9.函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
10.已知点的坐标过点的直线与圆相交于、两点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．2
11.某四周体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是 （ ）
A. B． C. D．
12.若,则最小值为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（90分）
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设复数满足（其中为虚数单位），则的模为_____.
14.在棱长为1的正方体中，分别是的中点，点在其表面上运动，则总能使与垂直的点所构成的轨迹的周长等于 ．
15.古希腊的数学家争辩过各种多边形数.记第个边形数为（，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：
三角形数
四边形数
五边形数
六边形数
……
可以推想的表达式，由此计算的值为________．
16.设椭圆的右顶点为、右焦点为为椭圆上在其次象限内的点，直线交于点，若直线平分线段，则的离心率是 ．
三、 解答题：
17. （本小题满分12分）已知锐角中内角、、的对边分别为、、，，且．
（1）求角的值； （2）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为，求的取值范围．
18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是梯形，底面，其中与交于点是边上的点，且，已知
（1）求平面与平面所成锐二面角的正切值；
（2）若是上一点，且平面， 求的值．
19.（本小题满分12分）为了调查某高中同学每天的睡眠时间,现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查,结果如下:
睡眠时间(小时)
[4,5）
[5,6）
[6,7）
[7,8）
[8,9]
女生人数

男生人数

（1）现把睡眠时间不足5小时的定义为“严峻睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严峻睡眠不足”的概率;
（2）完成下面2×2列联表,并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？

睡眠时间少于7小时
睡眠时间不少于7小时
合计
男生

女生

合计

（，其中）
20.（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为且,设短轴的一个端点为,原点到直线的距离为，过原点和轴不重合的直线与椭圆相交于两点，且. (1)求椭圆的方程；
(2) 是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点且使得成立？若存在，试求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）已知函数．
（1）若在定义域内恒成立，求的取值范围；
（2）当取（1）中的最大值时，求函数的最小值；
（3）证明不等式．
请考生从第22、23、24题中任选一题作答，作答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图⊙过平行四边形的顶点,且与相切,交的延长线于点.
(1)求证：；(2)是的三等分点，且，求.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为，（为参数，）．以为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为．写出圆心的极坐标，并求当为何值时，圆上的点到直线的最大距离为3．
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数.
（1） 求函数的最小值；（2）若正实数满足，求证：.
河北省“五个一名校联盟”2022届高三教学质量监测
理科数学答案
四、 选择题：DDCCC BCACB DD
五、 填空题:13.； 14.； 15.2490； 16.
三、解答题：
18. （本小题满分12分）
解析：（1）由于,由余弦定理知
所以,又由于,则由正弦定理得:，
所以,又由于所以 ...... 6分
（2），
由已知,则...... 8分
由于,,由于,所以，...... 10分
所以，所以的取值范围是..... 12分
19. （本小题满分12分）
解析:（1）连接并延长交的延长线于，则是平面与平面所成二面角的棱，过作垂直于，连接．
∵平面，∴，
又，∴平面，平面，
∵，， 面， 面∴，
∴是平面与平面所成锐二面角的平面角…（3分）
∵，
∴，又，∴∴，
所以平面与平面所成锐二面角的正切值为…（6分）
（2）连接并延长交于，连接
∵平面，面，面面∴
在中∵，又 …（9分）
在梯形中，，∵∴，∴…（12分）
另解：向量法.
19.（本小题满分12分）
解析：（1） 设大事A=“从睡眠不足6小时的女生中抽出3人，其中恰有一个为“严峻睡眠不足”.........1分 . 所以 ......6分
(2)

睡眠少于7小时
睡眠不少于7小时
合计
男生
12
8
20
女生
14
6
20
合计
26
14
40
......8分
......10分
所以没有的把握认为“睡眠时间与性别有关” .......12分
20.（本小题满分12分）
解析：（1）由椭圆的对称性知：,又原点O到直线DF的距离为，又
故椭圆方程为…………4分
（2）当直线与轴垂直时不满足条件……5分，故可设直线的方程为， 代入椭圆方程得：
……7分
由于，即
所以即
，
解得……10分,
故.所以存在满足条件的直线，且其方程为……12分
21.（本小题满分12分）
解析：（1）的定义域是，
当时，，递减，当时，，递增
∴依题意得，，故的取值范围 …3分
（2）当时，，的定义域是
，
令
由（1）知，的最小值是递增，又
时，，递减，
当时，，递增，∴ 7分
（3）由（2）得，时，
，
令，则

…12分
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解析：(Ⅰ)证明：由于∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB，所以∠A＝∠ATB，所以AB＝BT.又AT 2＝AB*AD，所以AT 2＝BT*AD．......5分
(Ⅱ)取BC中点M，连接DM，TM．由(Ⅰ)知TC＝TB，所以TM⊥BC．由于DE＝DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．所以M，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．所以∠ABT＝∠DBT＝90°. 所以∠A＝∠ATB＝45°°. ...... 10分
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：由已知圆心O的直角坐标为，所以圆心O的极坐标为...2分直线的直角坐标方程为，圆心O到的距离，圆O上的点到直线的距离的最大值为解得......10分
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
解析：（1）∵， ． ......5分
，
∴. ......10分