【复习参考】2021年高考数学(理)提升演练：对数与对数函数.docx

2021届高三数学（理）提升演练：对数与对数函数

一、选择题
1．若点(a，b)在y＝lgx图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是
(　　)
A．(，b)　　　　　　　　 B．(10a,1－b)
C．(，b＋1) D．(a2,2b)
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A. B．2x－2
C． D．log2x
3．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．c＞a＞b
4．函数f(x)＝2|log2x|的图象大致是(　　)

5．函数y＝log2(x2＋1)－log2x的值域是(　　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
6．若不等式x2－logax<0在(0，)内恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．(，1) B．(0，)
C．(0,1) D．(，1]
二、填空题
7．若a>0，＝，则a＝________.
8．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．
9．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(7)，b＝f(3)，c＝f()，则a，b，c的大小关系是________．
三、解答题
10．(1)计算：2(lg)2＋lg·lg5＋－÷；
(2)已知lga＋lgb＝2lg(a－2b)，求的值．

11．已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，假如对于任意的x∈[，2]都有|f (x)|≤1成立，试求a的取值范围．

12．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

详解答案

一、选择题
1．解析：当x＝a2时，y＝lga2＝2lga＝2b，所以点(a2,2b)在函数y＝lgx的图象上．
答案：D
2．解析：函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，
所以a＝2，故f(x)＝log2x.
答案：D
3．解析：a＝log23.6＝log43.62＝log412.96，y＝log4x(x＞0)是单调增函数，
而3.2＜3.6＜12.96，∴a＞c＞b.
答案：B
4．解析：f(x)＝
即f(x)＝
其图象为C.
答案：C
5．解析：y＝log2(x2＋1)－log2x＝log2＝log2(x＋)≥log22＝1(x>0)．
答案：C
6．解析：∵不等式x2－logax<0在(0，)内恒成立，
∴0<a<1，且<loga.
∴∴<a<1.
答案：A
二、填空题
7．解析：∵＝，∴＝＝2，
∴a＝2，∴a＝3.
答案：3
8．解析：如图所示为f(x)＝|log3x|的图象，当f(x)＝0时，x＝1，当f(x)＝1时，x＝3或，故要使值域为[0,1]，则定义域为[，3]或[，1]或[1,3]，所以b－a的最小值为.
答案：
9．解析：3＝－3＝－9，
＝＝＝>＝2>9，
又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，
∴f()<f(3)<f(7)，即c<b<a.
答案：c<b<a
三、解答题
10．解：(1)原式＝lg(2lg＋lg5)＋－
＝lg(lg2＋lg5)＋1－lg－÷
＝lg＋1－lg－1＝0
(2)∵lga＋lgb＝2lg(a－2b)，
∴lgab＝lg(a－2b)2.
∴ab＝(a－2b)2，a2＋4b2－5ab＝0.
()2－5·＋4＝0，
解之得＝1或＝4.
∵a>0，b>0，若＝1，则a－2b<0，
∴＝1舍去．∴＝4.
11．解：f(x)＝logax，
则y＝|f(x)|的图象如右图．
由图示，要使x∈[，2]时恒有|f(x)|≤1，
只需|f()|≤1，即－1≤loga＜1，
即logaa－1≤loga≤logaa.
当a>1时，得a－1≤≤a，即a≥3；
当0<a<1时得a－1≥≥a，得0＜a≤.
综上所述，a的取值范围是(0，]∪[3，＋∞)．
12．解：(1)∵f(1)＝1，
∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，函数定义域为(－1,3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3.
则g(x)在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，
又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．
(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，因此应有
解得a＝.
故存在实数a＝使f(x)的最小值等于0.