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其次章 平面对量（A）
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．与向量a＝(1，)的夹角为30°的单位向量是( )
A．(，)或(1，) B．(，)
C．(0,1) D．(0,1)或(，)
2．设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
3．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
4．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于( )
A．0 B．2＋ C． D．2
5．若a与b满足|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·a＋a·b等于( )
A． B． C．1＋ D．2
6．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于( )
A．－a＋b B．a－b
C．a－b D．－a＋b
7．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于( )
A．6 B．5 C．4 D．3
8．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的外形为( )
A．等腰非直角三角形 B．等边三角形
C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形
9．设点A(1,2)、B(3,5)，将向量按向量a＝(－1，－1)平移后得到为( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,7)
10．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是( )
A． B．
C． D．
11．在菱形ABCD中，若AC＝2，则·等于( )
A．2 B．－2
C．||cos A D．与菱形的边长有关
12．如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是( )
A．· B．·
C．· D．·
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________．
14．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝______．
15．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为________．
16．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a，b，c在同一平面内，且a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c；
(2)若|b|＝，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求a与b的夹角．
18．(12分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，
(1)c∥d；(2)c⊥d．
19．(12分)已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：
(1)a与b的夹角；
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．
20．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
21．(12分)已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P．求证：
(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB．
22．(12分)已知向量、、满足条件＋＋＝0，||＝||＝||＝1．
求证：△P1P2P3是正三角形．
其次章 平面对量(A) 答案
1．D 2．C
3．D [依据力的平衡原理有f1＋f2＋f3＋f4＝0，
∴f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．]
4．D [|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|2|＝2||＝2．]
5．B [由题意得a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝，故选B．]
6．B [令c＝λa＋μb，则 ∴
∴c＝a－b．]
7．C [∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，
∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．
又∵(8a－b)·c＝30，
∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30．
∴x＝4．]
8．C [∵＝(4，－3)，＝(2，－4)，
∴＝－＝(－2，－1)，
∴·＝(2,1)·(－2,4)＝0，
∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||．
∴△ABC是直角非等腰三角形．]
9．B [∵＝(3,5)－(1,2)＝(2,3)，平移向量后得，＝＝(2,3)．]
10．A [a·b＝－3λ＋10<0，∴λ>．
当a与b共线时，＝，∴λ＝．
此时，a与b同向，∴λ>．]
11．B [
如图，设对角线AC与BD交于点O，∴＝＋．
·＝·(＋)
＝－2＋0＝－2，故选B．]
12．A [依据正六边形的几何性质．
〈，〉＝，〈，〉＝，
〈，〉＝，〈，〉＝．
∴·<0，·＝0，
·＝||·||cos
＝||2，
·＝||·2||·cos
＝||2．
比较可知A选项的数量积最大．]
13．－1
解析 ∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，
∴a＋b＝(1，m－1)．
∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，
∴2－(－1)·(m－1)＝0．
∴m＝－1．
14．3
解析 a·b＝|a||b|cos 30°＝2··cos 30°＝3．
15．6
解析 由(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2－12b2
＝2k－12＝0，
∴k＝6．
16．－
解析 由于点O是A，B的中点，所以＋＝2，设||＝x，则||＝1－x(0≤x≤1)．
所以(＋)·＝2·＝－2x(1－x)＝2(x－)2－．
∴当x＝时，(＋)·取到最小值－．
17．解 (1)∵c∥a，∴设c＝λa，则c＝(λ，2λ)．
又|c|＝2，∴λ＝±2，∴c＝(2,4)或(－2，－4)．
(2)∵⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0．
∵|a|＝，|b|＝，∴a·b＝－．
∴cos θ＝＝－1，∴θ＝180°．
18．解 由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3．
(1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．
∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝．
(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0．
∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，∴k＝－．
19．解 (1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝1－|b|2＝，
∴|b|2＝，∴|b|＝，
设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝．
∴θ＝45°．
(2)∵|a|＝1，|b|＝，
∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝．
∴|a－b|＝，
又|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝．
∴|a＋b|＝，
设a－b与a＋b的夹角为α，则
cos α＝＝＝．
即a－b与a＋b的夹角的余弦值为．
20．解 (1)＝(3,5)，＝(－1,1)，
求两条对角线的长即求|＋|与|－|的大小．
由＋＝(2,6)，得|＋|＝2，
由－＝(4,4)，得|－|＝4．
(2)＝(－2，－1)，
∵(－t)·＝·－t2，
易求·＝－11，2＝5，
∴由(－t)·＝0得t＝－．
21．证明
如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2，
则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，
E(1,2)，F(0,1)．
(1)＝－＝(1,2)－(2,0)
＝(－1,2)，
＝－＝(0,1)－(2,2)
＝(－2，－1)，
∵·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴⊥，即BE⊥CF．
(2)设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(－2，－1)，
∵∥，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2．
同理由∥，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2．
解得x＝，∴y＝，即P．
∴2＝2＋2＝4＝2，
∴||＝||，即AP＝AB．
22．证明 ∵＋＋＝0，
∴＋＝－，
∴(＋)2＝(－)2，
∴||2＋||2＋2·＝||2，
∴·＝－，
cos∠P1OP2＝＝－，
∴∠P1OP2＝120°．
同理，∠P1OP3＝∠P2OP3＝120°，
即、、中任意两个向量的夹角为120°，
故△P1P2P3是正三角形．
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