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§1.3 简洁的规律联结词、全称量词与存在量词
一、选择题
1．命题p：x＝π是函数y＝sin x图象的一条对称轴；q：2π是y＝sin x的最小正周期，下列复合命题：①p∨q；②p∧q；③綈p；④綈q，其中真命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：由于命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p是真命题，綈q是假命题，因此①②③④中只有①③为真．
答案：C
2．命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是( )．
A．∃x0＞0，x20＋x0＞0 B．∃x0＞0，x20＋x0≤0
C．∀x＞0，x2＋x≤0 D．∀x≤0，x2＋x＞0
解析 依据全称命题的否定是特称命题，可知该命题的否定是：∃x0＞0，x20＋x0≤0.
答案 B
3．ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是( )．
A．0＜a≤1 B．a＜1
C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0
解析 (筛选法)当a＝0时，原方程有一个负的实根，可以排解A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排解B，故选C.
答案 C
4．下列命题中是假命题的是( )
A．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减
B．∀a>0，函数f(x)＝ln2x＋lnx－a有零点
C．∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cos α＋sin β
D．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
解析：对A，当m＝2时，f(x)＝是幂函数且在(0，＋∞)上递减；对B，由于Δ＝1＋4a>0，故f(x)＝ln2x＋lnx－a有零点；对C，当α＝，β＝0时，有cos(＋0)＝cos＋sin0；对D，当φ＝时，f(x)是偶函数，故D是假命题．
答案：D
5.“”的含义为（）
A．不全为0
B． 全不为0
C．至少有一个为0
D．不为0且为0，或不为0且为0
解析: ,于是就是对即都为0的否定, 而“都”的否定为“不都是”或“不全是”,所以应当是“不全为0”.
答案：A
6．下列命题错误的是( )．
A．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0”
B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．对于命题p：∃x0∈R，使得x20＋x0＋1＜0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0
解析 依次推断各选项，易知只有C是错误的，由于用规律联结词“且”联结的两个命题中，只要一个为假整个命题为假．
答案 C
7．已知p：∃x0∈R，mx＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )．
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－1,1]
解析 (直接法)∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．由p：∃x0∈R，mx＋2≤0为假，得∀x∈R，mx2＋2＞0，∴m≥0.①
由q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0为假，得∃x0∈R，x－2mx0＋1≤0，∴Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②
由①和②得m≥1.
答案 A
【点评】 本题接受直接法，就是通过题设条件解出所求的结果，多数选择题和填空题都要用该方法，是解题中最常用的一种方法.
二、填空题
8．若命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析 由于“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－2≤a≤2.
答案 －2≤a≤2
9．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”、“p∧q”、“非p”中是真命题的有________．
解析：依题意p假，q真，所以p∨q，非p为真．
答案：p∨q，綈p
10.若a∈(0，＋∞)，θ∈R，使asinθ≥a成立，则cos(θ－)的值为 .
解析：∵a∈(0，＋∞)，asinθ≥a，
∴sinθ≥1，又sinθ≤1，∴sinθ＝1，
∴θ＝2kπ＋(k∈Z)，∴cos (θ－)＝sin＝.
答案：
11．令p(x)：ax2＋2x＋a＞0，若对∀x∈R，p(x)是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵对∀x∈R，p(x)是真命题．
∴对∀x∈R，ax2＋2x＋a＞0恒成立，
当a＝0时，不等式为2x＞0不恒成立，
当a≠0时，若不等式恒成立，
则∴a＞1.
答案 a＞1
12．已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a＞0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析 由“∀x∈R，x2－5x＋a＞0”的否定为假命题，可知命题“∀x∈R，x2－5x＋a＞0”必为真命题，即不等式x2－5x＋a＞0对任意实数x恒成立．
设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．
故Δ＝25－4×a＜0，解得a＞，即实数a的取值范围为.
答案
三、解答题
13．已知命题P：函数y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增；
命题Q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x恒成立．
若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围
解：命题P函数y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增；
∴0<a<1.
又∵命题Q不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x恒成立；
∴a＝2或
即－2<a≤2.
∵P∨Q是真命题，∴a的取值范围是－2<a≤2
14．写出下列命题的否定，并推断真假．
(1)q：∀x∈R，x不是5x－12＝0的根；
(2)r：有些质数是奇数；
(3)s：∃x0∈R，|x0|＞0.
解 (1)綈q：∃x0∈R，x0是5x－12＝0的根，真命题．
(2)綈r：每一个质数都不是奇数，假命题．
(3)綈s：∀x∈R，|x|≤0，假命题．
15．已知两个命题r(x)：sin x＋cos x＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0.假如对∀x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题．求实数m的取值范围．
解 ∵sin x＋cos x＝sin≥－，∴当r(x)是真命题时，m＜－.又∵对∀x∈R，当s(x)为真命题时，
即x2＋mx＋1＞0恒成立有Δ＝m2－4＜0，∴－2＜m＜2.
∴当r(x)为真，s(x)为假时，m＜－，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2.当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－且－2＜m＜2，即－≤m＜2.
综上，实数m的取值范围是m≤－2或－≤m＜2.
16.已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求a的取值范围.
解析：由2x2＋ax－a2＝0，得(2x－a)(x＋a)＝0，
∴x＝或x＝－a，
∴当命题p为真命题时，||≤1或|－a|≤1，
∴|a|≤2.
又“只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0”，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.
∴命题“p∨q”为真命题时，|a|≤2.
∵命题“p∨q”为假命题，∴a>2或a<－2.
即a的取值范围为a>2或a<－2.
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