资源描述
1．如图，在四棱锥E－ABCD中，EA⊥平面ABCD，AB∥CD，AD＝BC＝AB，∠ABC＝.
(1)求证：△BCE为直角三角形；
(2)若AE＝AB，求CE与平面ADE所成角的正弦值．
(1)证明 在△ABC中，AB＝2BC，∠ABC＝，
由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ＝3BC2，∴AC＝BC，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.
又∵EA⊥平面ABCD，∴EA⊥BC，
又∵AC∩AE＝A，∴BC⊥平面ACE，
∴BC⊥CE.∴△BCE为直角三角形．
(2)解 由(1)知：AC⊥BC，AE⊥平面ABCD，
以点C为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，
建立空间直角坐标系C－xyz.
设BC＝a，则AE＝AB＝2a，AC＝a，
如图2，在等腰梯形ABCD中，过点C作CG⊥AB于G，则GB＝a，∴CD＝AB－2GB＝a，
过点D作DH⊥BC于H，由(1)知，∠DCH＝60°，
∴DH＝，CH＝，
∴D.
又C(0,0,0)，A(a,0,0)，
B(0，a,0)，E(a,0,2a)，
∴＝，
＝(0,0,2a)，
＝(a,0,2a)，
设平面ADE的一个法向量为n＝(x0，y0，z0)，则得
令x0＝，则y0＝－3，∴n＝(，－3,0)．
设CE与平面ADE所成角为θ，则
sin θ＝|cos 〈·n〉|＝＝＝.
∴直线CE与平面ADE所成角的正弦值为.
2．平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝，且∠BAD＝45°，以BD为折线，把△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC.
(1)求证：AB⊥DC；
(2)求二面角B－AC－D的大小．
(1)证明 在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos 45°＝1，∴BD＝1，∴AB⊥BD，
又∵平面ABD⊥平面BDC，平面ABD∩平面BDC＝BD，
∴AB⊥平面BDC，又DC⊂平面BDC，
∴AB⊥DC.
(2)解 在四周体ABCD中，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面BDC的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A(1,0,1)
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，而＝(0,0,1)，＝(－1,1,0)，由得
取n＝(1,1,0)，
再设平面DAC的法向量为m＝(x，y，z)，而＝(1,0,1)，＝(0,1,0)，
由，得，取m＝(1,0，－1)，
所以cos 〈n，m〉＝＝，
所以二面角B－AC－D的大小是60°.
3.如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，且AD＝DE＝2BF＝2.
(1)求证：AC⊥EF；
(2)求二面角C－EF－D的大小；
(3)设G为CD上一动点，试确定G的位置使得BG∥平面CEF，并证明你的结论．
(1)证明 连接BD，∵FB∥ED，∴F，B，E，D共面，
∵ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴ED⊥AC，又ABCD为正方形，∴BD⊥AC，而ED∩DB＝D，∴AC⊥平面DBFE，而EF⊂平面DBFE，∴AC⊥EF.
(2)解 如图建立空间直角坐标系．
则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，F(2,2,1)，E(0,0,2)，由(1)知为平面DBFE的法向量，即＝(－2,2,0)，
又＝(0，－2,2)，＝(2,0,1)
设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则有即
取z＝1，则x＝－，y＝1，∴n＝
则cos 〈n，〉＝＝＝，
又平面CEF与平面DBFE的二面角为锐角，所以θ＝.
(3)解 设G(0，y0,0)，则＝(－2，y0－2,0)，由题意知⊥n，
∴·n＝0，即(－2，y0－2,0)·＝0，
解得y0＝1，∴G点坐标为(0,1,0)，
即当G为CD的中点时，BG∥平面CEF.
4．如图，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面相互垂直，AB＝2AD＝2.
(1)若点E为AB的中点，求证：
BD1∥平面A1DE；
(2)在线段AB上是否存在点E，使二面角D1－EC－D的大小为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．
解 (1)四边形ADD1A1为正方形，连接AD1，A1D∩AD1＝F，则F是AD1的中点，又由于点E为AB的中点，连接EF，则EF为△ABD1的中位线，所以EF∥BD1.
又由于BD1⊄平面A1DE，EF⊂平面A1DE，
所以BD1∥平面A1DE.
(2)依据题意得DD1⊥平面ABCD，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)．
设满足条件的点E存在，
令E(1，y0,0)(0≤y0≤2)，
＝(－1,2－y0,0)，＝(0,2，－1)，
设n1＝(x1，y1，z1)是平面D1EC的法向量，
则得令y1＝1，则平面D1EC的法向量为n1＝(2－y0,1,2)，由题知平面DEC的一个法向量n2＝(0,0,1)．
由二面角D1－EC－D的大小为得
cos ＝＝＝，
解得y0＝2－∈[0,2]，
所以当AE＝2－时，二面角D1－EC－D的大小为.
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