1、1如图，在四棱锥EABCD中，EA平面ABCD，ABCD，ADBCAB，ABC.(1)求证：BCE为直角三角形；(2)若AEAB，求CE与平面ADE所成角的正弦值(1)证明在ABC中，AB2BC，ABC，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos 3BC2，ACBC，AC2BC2AB2，ACBC.又EA平面ABCD，EABC，又ACAEA，BC平面ACE，BCCE.BCE为直角三角形(2)解由(1)知：ACBC，AE平面ABCD，以点C为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Cxyz.设BCa，则AEAB2a，ACa，如图2，在等腰梯形ABCD中，过点C作CGA
2、B于G，则GBa，CDAB2GBa，过点D作DHBC于H，由(1)知，DCH60，DH，CH，D.又C(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，E(a,0,2a)，(0,0,2a)，(a,0,2a)，设平面ADE的一个法向量为n(x0，y0，z0)，则得令x0，则y03，n(，3,0)设CE与平面ADE所成角为，则sin |cos n|.直线CE与平面ADE所成角的正弦值为.2平行四边形ABCD中，AB1，AD，且BAD45，以BD为折线，把ABD折起，使平面ABD平面BCD，连接AC.(1)求证：ABDC；(2)求二面角BACD的大小(1)证明在ABD中，BD2AB2AD22ABA
3、Dcos 451，BD1，ABBD，又平面ABD平面BDC，平面ABD平面BDCBD，AB平面BDC，又DC平面BDC，ABDC.(2)解在四周体ABCD中，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面BDC的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A(1,0,1)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，而(0,0,1)，(1,1,0)，由得取n(1,1,0)，再设平面DAC的法向量为m(x，y，z)，而(1,0,1)，(0,1,0)，由，得，取m(1,0，1)，所以cos n，m，所以二面角BACD的大小是60.3.如图，在多面体AB
4、CDEF中，ABCD为正方形，ED平面ABCD，FBED，且ADDE2BF2.(1)求证：ACEF；(2)求二面角CEFD的大小；(3)设G为CD上一动点，试确定G的位置使得BG平面CEF，并证明你的结论(1)证明连接BD，FBED，F，B，E，D共面，ED平面ABCD，AC平面ABCD，EDAC，又ABCD为正方形，BDAC，而EDDBD，AC平面DBFE，而EF平面DBFE，ACEF.(2)解如图建立空间直角坐标系则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，F(2,2,1)，E(0,0,2)，由(1)知为平面DBFE的法向量，即(2,2,0)，又(0，2,2)，(2,0,1)设
5、平面CEF的法向量为n(x，y，z)，则有即取z1，则x，y1，n则cos n，又平面CEF与平面DBFE的二面角为锐角，所以.(3)解设G(0，y0,0)，则(2，y02,0)，由题意知n，n0，即(2，y02,0)0，解得y01，G点坐标为(0,1,0)，即当G为CD的中点时，BG平面CEF.4如图，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面相互垂直，AB2AD2.(1)若点E为AB的中点，求证：BD1平面A1DE；(2)在线段AB上是否存在点E，使二面角D1ECD的大小为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由解(1)四边形ADD1A1为正方形，连接AD1，A1DAD1F，则F是AD1
6、的中点，又由于点E为AB的中点，连接EF，则EF为ABD1的中位线，所以EFBD1.又由于BD1平面A1DE，EF平面A1DE，所以BD1平面A1DE.(2)依据题意得DD1平面ABCD，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)设满足条件的点E存在，令E(1，y0,0)(0y02)，(1,2y0,0)，(0,2，1)，设n1(x1，y1，z1)是平面D1EC的法向量，则得令y11，则平面D1EC的法向量为n1(2y0,1,2)，由题知平面DEC的一个法向量n2(0,0,1)由二面角D1ECD的大小为得cos ，解得y020,2，所以当AE2时，二面角D1ECD的大小为.
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