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第3讲 基本不等式及其应用
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2022·太原模拟)设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的
( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由于a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，而＋≥2⇔ab＞0，所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”的必要不充分条件，故选B.
答案 B
2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是
( )
A. B．4 C. D．5
解析 依题意，得＋＝·(a＋b)＝[5＋(＋)]≥(5＋2)＝，当且仅当即a＝，b＝时取等号，即＋的最小值是.
答案 C
3．(2021·金华十校模拟)已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是
( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析 由题意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，
∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4.
答案 B
4．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则
( )
A．a<v< B．v＝
C.<v< D．v＝
解析 设甲、乙两地之间的距离为s.
∵a<b，∴v＝＝＝<＝.
又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a.
答案 A
5．(2021·温州十校联考)若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是
( )
A. B. C．2 D.
解析 由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.
答案 C
二、填空题
6．(2022·贵阳适应性监测)已知向量m＝(2,1)，n＝(1－b，a)(a＞0，b＞0)．若m∥n，则ab的最大值为________．
解析 依题意得2a＝1－b，即2a＋b＝1(a＞0，b＞0)，因此1＝2a＋b≥2，即ab≤，当且仅当2a＝b＝时取等号，因此ab的最大值是.
答案
7．(2022·成都诊断)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝3x，若f(a＋b)＝9，则f(ab)的最大值为________．
解析 由于3a＋b＝9，所以a＋b＝2≥2，得ab≤1，所以f(ab)＝3ab≤3.
答案 3
8．(2022·重庆卷)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是________．
解析 由log4(3a＋4b)＝log2得3a＋4b＝ab，
且a＞0，b＞0，∴＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)·(＋)＝7＋(＋)≥7＋2＝7＋4，
当且仅当＝时取等号．
答案 7＋4
三、解答题
9．已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)求＋的最小值．
解 (1)∵x＞0，y＞0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得
此时xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x＞0，y＞0，∴＋＝·＝≥＝，
当且仅当＝时，等号成立．
由解得
∴＋的最小值为.
10．(2022·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从其次年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)
解 (1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，
则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50(0＜x≤10，x∈N)，
即y＝－x2＋20x－50(0＜x≤10，x∈N)，
由－x2＋20x－50＞0，解得10－5＜x＜10＋5.
而2＜10－5＜3，故从第3年开头运输累计收入超过总支出．
(2)由于利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为
＝[y＋(25－x)]＝(－x2＋19x－25)＝19－，而19－≤19－2＝9，当且仅当x＝5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．
力量提升题组
(建议用时：35分钟)
11．(2021·西安第一中学模拟)设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为
( )
A．2 B. C．1 D.
解析 由ax＝by＝3，得x＝loga3，y＝logb3，
则＋＝＋＝＝.又a＞1，b＞1，所以ab≤()2＝3，所以lg ab≤lg 3，从而＋≤＝1，当且仅当a＝b＝时等号成立．
答案 C
12．(2021·杭州第四中学考试)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为
( )
A．0 B．1
C. D．3
解析 由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)
则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1.
答案 B
13．(2022·南昌模拟)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
解析 由已知，得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤2，令x＋3y＝t，则t2＋12t－108≥0，解得t≥6，即x＋3y≥6.
答案 6
14．(1)若正实数x、y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值．
(2)求函数y＝(x>－1)的最小值．
解 (1)xy＝2x＋y＋6≥2＋6，令xy＝t2，
可得t2－2t－6≥0，留意到t>0，解得t≥3，
故xy的最小值为18.
(2)设x＋1＝t，则x＝t－1(t>0)，
∴y＝
＝t＋＋5≥2 ＋5＝9.
当且仅当t＝，即t＝2，
且此时x＝1时，取等号，
∴ymin＝9.
15．某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度肯定(平面图如图所示)，假如池四四周墙建筑单价为400元/米，中间两道隔墙建筑单价为248元/米，池底建筑单价为80元/平方米，水池全部墙的厚度忽视不计．
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
解 (1)设污水处理池的宽为x米，则长为米．
总造价f(x)＝400×(2x＋)＋248×2x＋80×162
＝1 296x＋＋12 960＝1 296(x＋)＋12 960≥1 296×2＋12 960＝38 880(元)，
当且仅当x＝(x＞0)，即x＝10时取等号．
∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为
38 880元．
(2)由限制条件知∴≤x≤16.
设g(x)＝x＋，
g(x)在[，16]上是增函数，
∴当x＝时(此时＝16)，
g(x)有最小值，即f(x)有最小值，
即为1 296×＋12 960＝38 882(元)．
∴当污水处理池的长为16米，宽为米时总造价最低，总造价最低为38 882元.
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