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§2 实际问题的函数建模
课时目标 1.把握几种初等函数的应用.2.理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法.3.了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤．
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：
(1)收集数据；
(2)描点；
(3)选择函数模型；
(4)求函数模型；
(5)检验；
(6)用函数模型解决实际问题．
一、选择题
1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若试验开头时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：
x(h)
0
1
2
3
细菌数
300
600
1 200
2 400
据此表可推想试验开头前2 h的细菌数为( )
A．75 B．100
C．150 D．200
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元
C．290元 D．280元
3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的状况是( )
A．削减7.84% B．增加7.84%
C．削减9.5% D．不增不减
4．某工厂6年来生产某种产品的状况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像正确的是( )
5．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A.cm2 B．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
6．某厂有很多外形为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为( )
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优待”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元．
8．麋鹿是国家一级疼惜动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然疼惜区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当时快要濒临灭亡的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y＝alog2(x＋1)给出，则2000年年底它们的数量约为________头．
9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
三、解答题
10．东方旅社有100张一般客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便削减10张客床租出；若再提高2元，便再削减10张客床租出；依此状况连续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？
11．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人预备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位为：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据状况如下表：
t
50
110
250
Q
150
108
150
(1)依据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
力气提升
12．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：
月份
1
2
3
产量(千件)
50
52
53.9
为估量以后每月对该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．
13．一片森林原来的面积为a，方案每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为疼惜生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．函数拟合与猜想的一般步骤：
(1)能够依据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．假如全部实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个格外完善的事情，但在实际应用中，这种状况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
(3)依据所学函数学问，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，依据条件对所给问题进行猜想和把握，为决策和管理供应依据．
§2 实际问题的函数建模
作业设计
1．A [由表中数据观看可得细菌数y与时间x的关系式为y＝300·2x(x∈Z)．当x＝－2时，
y＝300×2－2＝＝75.]
2．B [由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b，将(1,800)，(2,1 300)代入得a＝500，b＝300.
当销售量为x＝0时，y＝300.]
3．A [设某商品价格为a，依题意得：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a，所以四年后的价格与原来价格比较(0.921 6－1)a＝－0.078 4a，即削减7.84%.]
4．A [由于前三年年产量的增长速度越来越快，可用指数函数刻画，后三年年产量保持不变，可用一次函数刻画，
故选A.]
5．D [设一段长为x cm，则另一段长为(12－x)cm.
∴S＝()2＋(4－)2＝(x－6)2＋2≥2.]
6．A [由三角形相像得＝，得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180.
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.]
7．2 250 [设每台彩电的原价为x元，则x(1＋40%)×0.8－x＝270，解得x＝2 250(元)．]
8．400
解析 由题意，x＝1时y＝100，代入求得a＝100,2000年年底时，
x＝15，代入得y＝400.
9．2ln 2 1 024
解析 当t＝0.5时，y＝2，
∴2＝，
∴k＝2ln 2，
∴y＝e2tln 2，当t＝5时，
∴y＝e10ln 2＝210＝1 024.
10．解 设每床每夜租金为10＋2n(n∈N)，则租出的床位为
100－10n(n∈N且n<10)
租金f(n)＝(10＋2n)(100－10n)
＝20[－(n－)2＋]，
其中n∈N且n<10.
所以，当n＝2或n＝3时，租金最多，
若n＝2，则租出床位100－20＝80(张)；
若n＝3，则租出床位100－30＝70(张)；
综合考虑，n应当取3，即每床每夜租金选择
10＋2×3＝16(元)．
11．解 (1)由所供应的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不行能是常值函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所供应的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所供应的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得：
解得a＝，b＝－，c＝.
所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为
Q＝t2－t＋.
(2)当t＝－＝150(天)时，芦荟种植成本最低为
Q＝×1502－×150＋＝100(元/10 kg)．
12．解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得：
或(a>0)
解得(两方程组的解相同)．
∴两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋48.
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54；
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝56.
由于56与53.9的误差较大，
∴选y＝ax＋b较好．
13．解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则
a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，解得x＝1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，则
a(1－x)m＝a，即＝，＝，解得m＝5，
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开头，以后砍了n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
≥，≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
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