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1．[2022·北京]同学的语文、数学成果均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若同学甲的语文、数学成果都不低于同学乙，且其中至少有一门成果高于乙，则称“同学甲比同学乙成果好”．假如一组同学中没有哪位同学比另一位同学成果好，并且不存在语文成果相同，同学成果也相同的两位同学，那么这组同学最多有( )
A．2个 B．3人
C．4人 D．5人
解析：同学甲比同学乙成果好，即同学甲两门成果中一门高过同学乙，另一门不低于同学乙．一组同学中没有哪位同学比另一位同学成果好，并且没有相同的成果，则存在的状况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成果均为中等．故选B.
答案：B
2．[2022·福建]用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的全部取法可由(1＋a)(1＋b)的开放式1＋a＋b＋ab表示出来，如“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其开放式可用来表示从5个无区分的红球、5个无区分的蓝球、5个有区分的黑球中取出若干个球，且全部的蓝球都取出或都不取出的全部取法的是( )
A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5
B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5
C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)
D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)
解析：分三步：第一步，5个无区分的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)种不同的取法；其次步，5个无区分的蓝球都取出或都不取出，则有(1＋b5)种不同的取法；第三步，5个有区分的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，…，5个，有(1＋c)5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5，故选A.
答案：A
3．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如＝＋，＝＋，＝＋，…，则第10行第4个数(从左往右数)为( )
A. B.
C. D.
解析：此题需要观看归纳数的排列规律，依据每个数是它下一行左右相邻两数的和的计算方法，由＝＋，得第8行前两个数为，，由＝＋，＝＋，得第9行前三个数为，，，又由＝＋，＝＋，＝＋，第10行前四个数为，，，，因此第10行第4个数为.
答案：C
4．[2022·课标全国Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可推断乙去过的城市为__________．
解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．
答案：A
5．[2022·陕西]观看分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是__________．
解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.
答案：F＋V－E＝2
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